Gleichungssystem-Rechner

Über den Gleichungssystem-Rechner

Ein Gleichungssystem fragt nach Werten, die mehrere Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Zwei Geraden in einem Koordinatensystem schneiden sich in einem Punkt, schneiden sich nie oder fallen zusammen, und dieselben drei Fälle gibt es bei Systemen mit beliebig vielen Unbekannten. Dieser Rechner bestimmt, welcher Fall vorliegt, und gibt bei eindeutiger Lösung exakte Brüche statt gerundeter Dezimalzahlen an.

Er verwendet das Gauß-Jordan-Verfahren, das systematische Vorgehen hinter dem Einsetzungs- und dem Additionsverfahren aus der Schule. Jede Zeilenumformung erscheint in der Liste: Du kannst die Rechnung verfolgen, sie mit deiner eigenen Elimination vergleichen und genau sehen, wo eine Unbekannte wegfällt oder ein Widerspruch entsteht.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

In einer linearen Gleichung kommt jede Unbekannte nur in der ersten Potenz vor, wie in $2x + 3y = 7$ . Ein System ist eine Gruppe solcher Gleichungen mit denselben Unbekannten. Eine Lösung ist eine Wahl von Werten, die alle Gleichungen gleichzeitig wahr macht.

Bei zwei Unbekannten ist jede Gleichung eine Gerade und eine Lösung ein Schnittpunkt. Bei drei Unbekannten ist jede Gleichung eine Ebene. Das System kann eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung haben.

So benutzt du den Gleichungssystem-Rechner

Schreibe jede Gleichung in eine eigene Zeile, zum Beispiel 2x + 3y = 7 in die erste und x - y = 1 in die zweite.
Verwende beliebige Buchstaben als Unbekannte. Terme dürfen auf beiden Seiten stehen; der Rechner bringt sie in Normalform.
Brüche und Dezimalzahlen sind erlaubt, etwa 0.5x + y/3 = 2; Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt.
Klicke auf System lösen. Lies die Normalform und die erweiterte Koeffizientenmatrix, dann die Liste der Zeilenumformungen.
Lies das Urteil: eine eindeutige Lösung, eine Parameterdarstellung der unendlich vielen Lösungen oder den Widerspruch, der beweist, dass es keine gibt.

Formeln

Matrixform

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Die Koeffizienten bilden $A$ , die rechten Seiten $\mathbf{b}$ ; die erweiterte Koeffizientenmatrix ist $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Elementare Zeilenumformungen

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Keine davon ändert die Lösungsmenge.

Cramersche Regel (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Für $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ mit von null verschiedener Determinante.

Durchgerechnetes Beispiel: 2x + 3y = 7, x − y = 1

Das Beispiel löst $2x + 3y = 7$ und $x - y = 1$ . Der Rechner stellt die erweiterte Koeffizientenmatrix auf, teilt die erste Zeile, damit ihr erster Koeffizient 1 wird, eliminiert $x$ aus der zweiten Zeile und dann $y$ aus der ersten.

Die reduzierte Matrix lässt sich direkt ablesen: $x = 2$ und $y = 1$ . Einsetzen ergibt $2(2) + 3(1) = 7$ und $2 - 1 = 1$ : Beide Gleichungen sind erfüllt.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

x = 2,\ y = 1

So haben wir deine Aufgabe verstanden

2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Jede Gleichung in Normalform schreiben
Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
Spalten: x, y | Konstante.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Gauß-Jordan-Verfahren
Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren.
R1 durch 2 teilen
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
R2 durch -5/2 teilen
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Reduzierte Zeilenstufenform
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Die eindeutige Lösung ablesen
$x = 2,\ y = 1$

Verwendete Formeln

Matrixform
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Elementare Zeilenumformungen
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe

Gleichung 1: 2x + 3y = 7 ✓
Gleichung 2: x - y = 1 ✓

Ausführliche Erklärung

Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Matrizen

Beim Einsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setzt sie in die anderen ein. Beim Additionsverfahren addiert man Vielfache der Gleichungen, sodass eine Unbekannte wegfällt. Das Gauß-Jordan-Verfahren ist das Additionsverfahren in fester Reihenfolge auf der erweiterten Koeffizientenmatrix: In jeder Spalte wählt man ein Pivotelement, macht es zu 1 und bringt alle anderen Koeffizienten dieser Spalte auf null.

Die Matrixschreibweise ist kein anderes Verfahren, nur eine übersichtlichere Notation. Jede Zeile ist eine Gleichung ohne die Namen der Unbekannten, und jede Zeilenumformung ist etwas, das du von Hand mit den Gleichungen machen könntest. Weil mit exakten Brüchen gerechnet wird, kann kein Rundungsfehler ein unterbestimmtes System in eine falsche eindeutige Lösung verwandeln.

Keine oder unendlich viele Lösungen erkennen

Entsteht bei der Elimination eine Zeile wie $[0\ 0 \mid 5]$ , besagt diese Zeile $0 = 5$ , was unmöglich ist: Das System ist unlösbar. Geometrisch sind das parallele Geraden, die sich nie schneiden.

Besteht eine Zeile nur aus Nullen, $[0\ 0 \mid 0]$ , war diese Gleichung eine Kombination der anderen und liefert keine Information. Gibt es weniger Pivotelemente als Unbekannte, sind die Unbekannten ohne Pivotelement frei. Der Rechner kennzeichnet sie als Parameter und drückt die anderen Unbekannten durch sie aus, was die ganze Lösungsgerade oder Lösungsebene beschreibt.

Größere Systeme

Drei Gleichungen mit drei Unbekannten folgen demselben Schema mit einer Spalte mehr. Das Verfahren funktioniert für jede Größe, und der Rechner akzeptiert Systeme mit mehr oder weniger Gleichungen als Unbekannten und meldet in jedem Fall ehrlich das Ergebnis.

Häufige Fehler

Beim Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl nur eine Seite oder nur einige Terme multiplizieren.
Beim Subtrahieren einer Gleichung von einer anderen ein Minuszeichen verlieren; subtrahiere alle Terme, auch die rechte Seite.
Annehmen, dass ein System immer genau eine Lösung hat. Achte auf Widersprüche und Nullzeilen.
Die Unbekannten in verschiedenen Gleichungen in unterschiedlicher Reihenfolge schreiben, wodurch die Spalten der Matrix verrutschen.
Brüche mitten in der Rechnung runden, wodurch ein lösbares System leicht widersprüchlich wirken kann.

Tipps

Ordne die Unbekannten in allen Gleichungen in derselben Reihenfolge an, bevor du beginnst.
Eliminiere zuerst die Unbekannte mit den einfachsten Koeffizienten.
Setze deine Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein, nicht nur in die zuletzt verwendete.
Zeichne bei zwei Unbekannten beide Geraden, um vorherzusagen, ob sie sich einmal, nie oder überall schneiden.

Häufige Fragen

Wie viele Gleichungen braucht man für drei Unbekannte?

Im Allgemeinen drei unabhängige Gleichungen. Mit weniger bleiben freie Unbekannte und unendlich viele Lösungen; mit mehr müssen die zusätzlichen Gleichungen mit den anderen verträglich sein.

Was bedeutet die Meldung „keine Lösung“?

Die Elimination hat eine unmögliche Gleichheit wie 0 = 5 ergeben. Die Gleichungen widersprechen sich; bei zwei Unbekannten sind die Geraden parallel.

Was sind freie Unbekannte?

Das sind die Unbekannten, die nach der Elimination ohne Pivotelement bleiben. Sie können jeden Wert annehmen, und die anderen Unbekannten werden durch sie ausgedrückt, was unendlich viele Lösungen ergibt.

Kann ich Gleichungen mit Unbekannten auf beiden Seiten eingeben?

Ja. Jede Gleichung wird vor der Elimination in Normalform gebracht, mit den Termen mit Unbekannten links und der Konstanten rechts.

Warum sind die Lösungen Brüche und keine Dezimalzahlen?

Der Rechner arbeitet mit exakter rationaler Arithmetik, sodass Lösungen wie 7/3 exakt bleiben. Wandle sie erst am Ende in Dezimalzahlen um, falls dein Kurs das verlangt.

Löst er nichtlineare Systeme wie x Quadrat plus y Quadrat gleich 25?

Nein. Dieser Rechner ist für lineare Systeme gedacht. Für eine einzelne Polynomgleichung nimm den Gleichungsrechner; Schnittpunkte von Kurven kann der Funktionsplotter grafisch zeigen.

Probiere den Gleichungssystem-Rechner aus

Gib eine Gleichung pro Zeile ein und verfolge jede Zeilenumformung bis zur exakten Lösung.

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