So berechnest du die Inverse einer Matrix

Was ist die inverse Matrix?

Bei Zahlen ist der Kehrwert von 5 gleich $\frac{1}{5}$, weil $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ gilt. Für Matrizen gibt es keine Division, aber dieselbe Idee funktioniert. Die Inverse einer quadratischen Matrix $A$ ist die Matrix $A^{-1}$, die Folgendes erfüllt:

Dabei ist $I$ die Einheitsmatrix, das Gegenstück der 1 bei Matrizen. Beschreibt $A$ eine Abbildung, etwa eine Drehung und Streckung der Ebene, dann ist $A^{-1}$ die Abbildung, die alles wieder in die Ausgangslage bringt. Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben, und nicht alle haben eine. Eine Matrix mit Inverse heißt invertierbar oder regulär; eine Matrix ohne Inverse heißt singulär.

Das Kriterium ist die Determinante: $A$ ist genau dann invertierbar, wenn $\det(A) \ne 0$ gilt. Eine Determinante gleich null bedeutet, dass die Matrix den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammendrückt: Verschiedene Eingaben landen bei derselben Ausgabe, und die Abbildung lässt sich nicht umkehren.

Die Formel für 2-mal-2-Matrizen

Für eine $2 \times 2$-Matrix gibt es eine kurze Formel: Vertausche die Einträge der Hauptdiagonalen, ändere das Vorzeichen der beiden anderen und teile durch die Determinante.

Dagegen hat $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ die Determinante $4 - 4 = 0$. Ihre erste Zeile ist das Doppelte der zweiten: Sie hat keine Inverse, und die Formel würde dich zwingen, durch null zu teilen.

Das Gauß-Jordan-Verfahren für jede Größe

Für $3 \times 3$-Matrizen und größere ist das Gauß-Jordan-Verfahren die übliche Methode. Schreibe $A$ und die Einheitsmatrix nebeneinander in eine erweiterte Matrix $[A \mid I]$. Forme mit elementaren Zeilenumformungen die linke Hälfte in $I$ um. Dieselben Umformungen machen aus der rechten Hälfte $A^{-1}$. Entsteht links eine Nullzeile, ist die Matrix singulär und hat keine Inverse.

Diese Matrix hat zufällig die Determinante 1, deshalb enthält ihre Inverse nur ganze Zahlen. Die meisten Inversen enthalten Brüche: Rechne durchgehend mit Brüchen und nicht mit gerundeten Dezimalzahlen.

Die Formel mit der adjungierten Matrix

Es gibt auch eine Formel, die die $2 \times 2$-Regel verallgemeinert. Ersetze jeden Eintrag durch seinen Kofaktor, die mit Vorzeichen versehene Unterdeterminante, die durch Streichen der Zeile und Spalte dieses Eintrags entsteht: So erhältst du die Kofaktormatrix. Transponiere sie dann, um die adjungierte Matrix $\operatorname{adj}(A)$ zu erhalten:

Diese Formel ist in der Theorie und für $3 \times 3$-Matrizen mit einfachen Einträgen nützlich, aber für eine $3 \times 3$-Matrix braucht sie neun $2 \times 2$-Determinanten, und der Aufwand wächst mit der Größe sehr schnell. Für jede größere Matrix ist das Gauß-Jordan-Verfahren die praktische Wahl.

Gleichungssysteme mit der Inversen lösen

Ein lineares Gleichungssystem in der Form $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ löst man, indem man beide Seiten von links mit $A^{-1}$ multipliziert, was $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ ergibt. Das entspricht dem Lösen von $5x = 10$ durch Teilen durch 5.

Das Verfahren ist besonders praktisch, wenn mehrere Systeme mit denselben Koeffizienten, aber verschiedenen rechten Seiten zu lösen sind, da die Inverse nur einmal berechnet wird. Für ein einzelnes System ist das Gauß-Verfahren meist schneller, wie der Leitfaden zum Lösen von Gleichungssystemen erklärt.

Eigenschaften der Inversen

• Die Inverse eines Produkts kehrt die Reihenfolge um, so wie du erst die Schuhe und dann die Socken ausziehst, umgekehrt zur Reihenfolge beim Anziehen.
• Ist $A$ invertierbar, ist ihre Inverse eindeutig.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Für eine von null verschiedene Zahl $k$ gilt $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Eine Diagonalmatrix mit von null verschiedenen Diagonaleinträgen invertiert man, indem man von jedem Diagonaleintrag den Kehrwert nimmt.

Die Inverse in der Praxis

Inverse Matrizen sind in der Theorie unverzichtbar und tauchen in der Computergrafik auf, wo das Rückgängigmachen einer Kameratransformation dem Anwenden ihrer Inversen entspricht; in der Kryptographie, wo die Hill-Chiffre Nachrichten mit einer inversen Matrix entschlüsselt; und in der Statistik, wo die Formel der kleinsten Quadrate für die Regression eine Inverse enthält.

Trotzdem berechnen numerische Programme eine Inverse selten explizit, nur um ein Gleichungssystem zu lösen. Verfahren auf Basis der Gauß-Elimination sind schneller und weniger anfällig für Rundungsfehler, vor allem bei fast singulären Matrizen, deren Determinante nahe null liegt. Der Rechner für inverse Matrizen zeigt jeden Gauß-Jordan-Schritt mit exakten Brüchen, und mit dem Matrizenrechner kannst du prüfen, ob $AA^{-1}$ wirklich die Einheitsmatrix ist.

Warum die 2-mal-2-Formel funktioniert

Die Formel ist leicht nachzuprüfen, und wer versteht, warum sie funktioniert, kann sie sich besser merken. Multipliziere die ursprüngliche Matrix mit der Matrix, in der die Diagonale vertauscht und die übrigen Einträge mit umgekehrtem Vorzeichen stehen:

Das Ergebnis ist die Determinante mal die Einheitsmatrix. Teilt man durch die Determinante, bleibt genau die Einheitsmatrix übrig, und genau das muss eine Inverse liefern. Diese Rechnung zeigt auch, warum eine Determinante gleich null fatal ist: Das Produkt wird dann zur Nullmatrix, und keine Skalierung kann daraus die Einheitsmatrix machen.

Häufige Fehler beim Invertieren

• Bei der $2 \times 2$-Formel das Vorzeichen der Diagonaleinträge ändern, statt sie zu vertauschen.
• Am Ende vergessen, durch die Determinante zu teilen.
• Eine Zeilenumformung auf die linke Hälfte von $[A \mid I]$ anwenden, aber nicht auf die rechte.
• $\mathbf{b}$ von der falschen Seite multiplizieren: Die Lösung ist $A^{-1}\mathbf{b}$, und $\mathbf{b}A^{-1}$ ist im Allgemeinen nicht einmal definiert.
• Brüche zu früh auf Dezimalzahlen runden, sodass die abschließende Probe nicht mehr genau die Einheitsmatrix ergibt.

Alle diese Fehler deckt dieselbe Gewohnheit auf: Multipliziere das Ergebnis mit der ursprünglichen Matrix, bevor du weitermachst. Die Probe dauert eine Minute und ist viel günstiger, als später die ganze Rechnung zu wiederholen.

Übungen

Versuche sie zu lösen, bevor du dir die Lösungen ansiehst. Invertiere zuerst die Matrix mit den Zeilen $(2, 1)$ und $(5, 3)$. Ihre Determinante ist $6 - 5 = 1$: Die Inverse ist also einfach die Matrix mit vertauschter Diagonale und umgekehrten Vorzeichen bei den übrigen Einträgen, mit den Zeilen $(3, -1)$ und $(-5, 2)$. Finde dann heraus, ob die Matrix mit den Zeilen $(3, 6)$ und $(1, 2)$ invertierbar ist. Ihre Determinante ist $6 - 6 = 0$: Sie ist singulär. Invertiere danach die Diagonalmatrix mit 2, 4 und 5 auf der Diagonalen: Die Inverse hat als Diagonaleinträge ein Halb, ein Viertel und ein Fünftel. Nutze schließlich die erste Lösung, um $2x + y = 4$ und $5x + 3y = 11$ zu lösen: Multipliziert man die Inverse mit der rechten Seite, erhält man $x = 3(4) - 11 = 1$ und $y = -5(4) + 2(11) = 2$, und beide Gleichungen sind erfüllt.

Häufige Fragen