Eigenwerte und Eigenvektoren mit Beispielen erklärt

Die definierende Gleichung

Die meisten Vektoren ändern ihre Richtung, wenn man sie mit einer Matrix multipliziert. Einige besondere Vektoren nicht: Die Matrix streckt, staucht oder spiegelt sie nur entlang derselben Geraden. Das sind die Eigenvektoren, und der Faktor, mit dem jeder multipliziert wird, ist sein Eigenwert. In Symbolen ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor $\mathbf{v}$ ein Eigenvektor der quadratischen Matrix $A$ zum Eigenwert $\lambda$, wenn gilt:

Der Nullvektor ist ausgeschlossen, weil er die Gleichung für jedes $\lambda$ erfüllen würde. Eigenwerte dagegen dürfen null, negativ oder sogar komplex sein. Ein Eigenwert gleich 2 bedeutet, dass Vektoren in dieser Richtung ihre Länge verdoppeln, $-1$, dass sie umgekehrt werden, und 0, dass sie auf den Nullvektor zusammengedrückt werden, was genau dann passiert, wenn die Matrix singulär ist.

Eigenwerte mit der charakteristischen Gleichung finden

Schreibe die Gleichung in der Form $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Damit es eine vom Nullvektor verschiedene Lösung gibt, muss die Matrix $A - \lambda I$ singulär sein, ihre Determinante muss also null sein. So erhält man die charakteristische Gleichung:

Für eine $n \times n$-Matrix ist das eine Polynomgleichung vom Grad $n$ in $\lambda$: Es gibt also $n$ Eigenwerte, gezählt mit Vielfachheit und unter Zulassung komplexer Werte. Für eine $2 \times 2$-Matrix ist das Polynom quadratisch, und du kannst es mit den Verfahren aus quadratische Gleichungen lösen lösen.

Ein vollständiges 2-mal-2-Beispiel

Jedes von null verschiedene Vielfache eines Eigenvektors ist ebenfalls ein Eigenvektor: $(3, 3)$ oder $(-2, 4)$ wären genauso richtige Antworten. Es kommt auf die Richtung an, nicht auf die Länge. Beachte auch, dass die beiden Zeilen von $A - \lambda I$ in beiden Fällen proportional waren. Das ist garantiert, wenn $\lambda$ wirklich ein Eigenwert ist, und eine hervorragende Kontrolle deiner Rechnung.

Zwei Abkürzungen: Spur und Determinante

Die Eigenwerte jeder quadratischen Matrix hängen mit zwei leicht zu bestimmenden Zahlen zusammen. Ihre Summe ist gleich der Spur, also der Summe der Diagonaleinträge, und ihr Produkt ist gleich der Determinante:

In Beispiel 1 ist die Spur $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ und die Determinante $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. Für eine $2 \times 2$-Matrix bedeutet das, dass die charakteristische Gleichung immer $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ lautet, sodass du die Determinante nicht von Hand ausrechnen musst. Dreiecksmatrizen sind noch einfacher: Ihre Eigenwerte sind einfach die Diagonaleinträge.

Komplexe und mehrfache Eigenwerte

Die Drehmatrix $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dreht jeden Vektor um 90 Grad: Keine reelle Richtung bleibt auf ihrer eigenen Geraden. Ihre charakteristische Gleichung ist $\lambda^2 + 1 = 0$, was die komplexen Eigenwerte $\lambda = \pm i$ liefert. Komplexe Eigenwerte einer reellen Matrix treten immer als konjugierte Paare auf und weisen auf eine Drehung hin.

Eigenwerte können auch mehrfach auftreten. Die Matrix $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ hat den doppelten Eigenwert 2, aber $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ erzwingt $y = 0$: Die einzigen Eigenvektoren sind also die Vielfachen von $(1, 0)$. Eine solche Matrix mit weniger linear unabhängigen Eigenvektoren, als ihre Größe angibt, ist nicht diagonalisierbar. Die Einheitsmatrix dagegen hat ebenfalls den mehrfachen Eigenwert 1, aber jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor ist ein Eigenvektor von ihr.

Symmetrische Matrizen entgehen beiden Komplikationen. Ihre Eigenwerte sind immer reell, und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Für $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ sind die Eigenwerte 3 und 1, mit den Eigenvektoren $(1, 1)$ und $(1, -1)$, deren Skalarprodukt null ist.

Diagonalisierung und Matrixpotenzen

Hat eine $n \times n$-Matrix $n$ linear unabhängige Eigenvektoren, ist sie diagonalisierbar. Schreibe die Eigenvektoren in die Spalten von $P$ und die Eigenwerte auf die Diagonale von $D$; dann gilt:

Eine Diagonalmatrix potenziert man, indem man jeden Diagonaleintrag potenziert: So wird die Berechnung von $A^{100}$ einfach. Eigenwerte sagen auch das Langzeitverhalten voraus: Ist ein Eigenwert betragsmäßig echt größer als alle anderen, dann dreht wiederholtes Multiplizieren mit $A$ fast jeden Startvektor in die Richtung des zugehörigen Eigenvektors.

Wo Eigenwerte eine Rolle spielen

• Suchmaschinen: Der ursprüngliche PageRank-Algorithmus ordnet Webseiten nach dem dominanten Eigenvektor einer Linkmatrix.
• Technik: Die Eigenfrequenzen von Brücken und Gebäuden ergeben sich aus Eigenwerten, die Ingenieure von den erwarteten Anregungsfrequenzen fernhalten.
• Data Science: Die Hauptkomponentenanalyse nutzt die Eigenvektoren einer Kovarianzmatrix, um die Richtungen größter Streuung zu finden.
• Differenzialgleichungen: Die Vorzeichen der Eigenwerte entscheiden, ob ein Gleichgewicht stabil oder instabil ist.
• Quantenmechanik: Messbare Größen wie Energieniveaus sind Eigenwerte von Operatoren.

Der Eigenwert-Rechner findet Eigenwerte und Eigenvektoren, auch komplexe, und zeigt das charakteristische Polynom Schritt für Schritt. Der Determinantenrechner hilft, $\det(A - \lambda I)$ für einen Kandidatenwert zu überprüfen.

Ein 3-mal-3-Beispiel

Größere Matrizen folgen demselben Verfahren, und Nullen helfen genau wie bei Determinanten. Nimm die Matrix mit den Zeilen $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ und $(0, 4, 9)$. Entwickelt man $\det(A - \lambda I)$ nach der ersten Zeile, erhält man $(2 - \lambda)$ mal das charakteristische Polynom des Blocks mit den Zeilen $(3, 4)$ und $(4, 9)$. Dieser Block hat die Spur 12 und die Determinante $27 - 16 = 11$, sein Polynom ist also $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

Die Eigenwerte sind daher 2, 1 und 11. Zur Kontrolle: Ihre Summe ist 14, die Spur der ganzen Matrix, und ihr Produkt ist 22, ihre Determinante. Die Eigenvektoren sind $(1, 0, 0)$ zum Eigenwert 2, $(0, -2, 1)$ zum Eigenwert 1 und $(0, 1, 2)$ zum Eigenwert 11. Die Matrix ist symmetrisch, und wie versprochen sind diese drei Vektoren paarweise orthogonal.

Häufige Fehler

• $\lambda$ von allen Einträgen abziehen statt nur von den Diagonaleinträgen.
• Nach dem Lösen von $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ den Nullvektor als Eigenvektor gelten lassen.
• Annehmen, dass ein mehrfacher Eigenwert immer zwei linear unabhängige Eigenvektoren hat.
• Vergessen, das Ergebnis zu prüfen, indem man $A\mathbf{v}$ berechnet und mit $\lambda\mathbf{v}$ vergleicht.

Die abschließende Probe ist die wertvollste Gewohnheit von allen. Sie erfordert nur ein Matrix-Vektor-Produkt, und ist $A\mathbf{v}$ kein Vielfaches von $\mathbf{v}$, dann ist der Eigenwert oder der Eigenvektor falsch.

Ein geometrisches Bild

Stell dir vor, du wendest die Matrix aus Beispiel 1 auf jeden Punkt eines karierten Blatts Papier an. Die meisten Pfeile, die vom Ursprung ausgehen, werden gleichzeitig länger und gedreht. Aber die Pfeile auf der Geraden durch $(1, 1)$ werden einfach fünfmal so lang, und die auf der Geraden durch $(1, -2)$ verdoppeln ihre Länge, ohne ihre Gerade zu verlassen. Die Eigenvektoren sind das Gerüst der Abbildung: Wenn du weißt, was entlang dieser beiden Geraden passiert, weißt du, was überall passiert, denn jeder Vektor lässt sich in Komponenten entlang dieser Geraden zerlegen.

Häufige Fragen