Das Skalarprodukt erklärt

Die Koordinatenformel

Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren mit gleich vielen Koordinaten und liefert eine einzige Zahl, keinen Vektor. Um es zu berechnen, multiplizierst du die entsprechenden Koordinaten und addierst die Ergebnisse:

Die Formel funktioniert in jeder Dimension, und deshalb ist das Skalarprodukt in der Data Science so verbreitet, wo Vektoren Tausende von Koordinaten haben können. Es ist auch der Grundbaustein der Matrizenmultiplikation: Jeder Eintrag eines Matrizenprodukts ist das Skalarprodukt einer Zeile mit einer Spalte.

Die geometrische Formel und der Winkel zwischen zwei Vektoren

Das Skalarprodukt hat eine zweite, geometrische Beschreibung. Ist $\theta$ der Winkel, den die beiden vom selben Punkt aus gezeichneten Vektoren einschließen, dann gilt:

Dabei ist $|\mathbf{a}|$ die Länge oder der Betrag von $\mathbf{a}$. Die beiden Formeln stimmen immer überein, was aus dem Kosinussatz folgt, angewandt auf das Dreieck aus $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. Kombiniert man sie, erhält man einen praktischen Weg, den Winkel zwischen zwei beliebigen Vektoren zu bestimmen:

Was das Vorzeichen verrät

Da Längen positiv sind, hat das Skalarprodukt dasselbe Vorzeichen wie $\cos\theta$. So kannst du den Winkel schnell deuten, ohne ihn auszurechnen:

• Positiv: Der Winkel ist spitz, kleiner als 90 Grad, und die Vektoren zeigen ungefähr in dieselbe Richtung.
• Null: Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander, sie sind orthogonal.
• Negativ: Der Winkel ist stumpf, größer als 90 Grad, und die Vektoren zeigen ungefähr in entgegengesetzte Richtungen.

Der Fall null ist der nützlichste. Zum Beispiel ist $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$: Diese Vektoren sind also orthogonal. In zwei Dimensionen liefert das Vertauschen der Koordinaten eines Vektors zusammen mit einem Vorzeichenwechsel bei einer von ihnen immer einen orthogonalen Vektor, ein praktischer Trick, um einen Normalenvektor einer Geraden zu finden.

Beträge und Einheitsvektoren

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seines Betrags, weil der Winkel null ist und $\cos 0 = 1$ gilt:

Der Betrag von $(2, -1, 3)$ ist also $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Teilt man einen Vektor durch seinen Betrag, erhält man einen Einheitsvektor der Länge 1 mit derselben Richtung. Einheitsvektoren sind praktisch, weil das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren einfach der Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist.

Einen Vektor auf einen anderen projizieren

Die Orthogonalprojektion von $\mathbf{a}$ auf $\mathbf{b}$ ist der Schatten, den $\mathbf{a}$ auf die Gerade von $\mathbf{b}$ wirft, wenn das Licht senkrecht zu dieser Geraden einfällt. Das Skalarprodukt liefert sie direkt:

Die Zahl $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, hier etwa 4,427, ist die skalare Projektion von $\mathbf{a}$ auf $\mathbf{b}$: die vorzeichenbehaftete Länge des Schattens. Projektionen zerlegen einen Vektor in einen Anteil entlang einer Richtung und einen dazu orthogonalen Anteil, ein Schritt, der überall vorkommt, von der Physik bis zur Methode der kleinsten Quadrate in der Statistik.

Die Arbeit einer Kraft

In der Physik verrichtet nur der Teil einer Kraft Arbeit, der in Bewegungsrichtung wirkt. Die Arbeit einer konstanten Kraft $\mathbf{F}$ entlang einer Verschiebung $\mathbf{d}$ ist daher ein Skalarprodukt: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Eigenschaften und Anwendungen

• Kommutativität: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Distributivität: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Skalare lassen sich herausziehen: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, die garantiert, dass die Kosinusformel immer einen Wert zwischen $-1$ und 1 liefert.

Über die Geometrie hinaus steht das Skalarprodukt im Zentrum der Kosinus-Ähnlichkeit, mit der Suchmaschinen und Empfehlungssysteme messen, wie ähnlich sich zwei Dokumente oder zwei Nutzer sind; der Beleuchtung in der 3D-Computergrafik, wo die Helligkeit vom Skalarprodukt des Normalenvektors der Oberfläche mit der Lichtrichtung abhängt; und neuronaler Netze, deren Neuronen Skalarprodukte aus Eingaben und Gewichten berechnen. Der Skalarprodukt-Rechner berechnet das Produkt, den Winkel und die Projektionen Schritt für Schritt, und der Kreuzprodukt-Rechner behandelt die andere Art, Vektoren zu multiplizieren, die unser Leitfaden zum Kreuzprodukt vorstellt.

Eine klassische Geometrieaufgabe

Das Skalarprodukt löst manche Geometrieaufgaben überraschend schnell. Welchen Winkel schließt die Raumdiagonale eines Würfels mit einer seiner Kanten ein? Lege den Würfel mit einer Ecke in den Ursprung und Kanten der Länge 1 entlang der Achsen. Die Diagonale verläuft vom Ursprung bis $(1, 1, 1)$, und eine Kante verläuft bis $(1, 0, 0)$.

Ihr Skalarprodukt ist 1, die Diagonale hat die Länge $\sqrt{3}$ und die Kante die Länge 1, also gilt $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ und $\theta \approx 54.7^\circ$. In der klassischen Geometrie müsste man im Würfel ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und sorgfältig über seine Seiten nachdenken; mit Vektoren genügen drei Zeilen. Mit derselben Überlegung findet man den Winkel zwischen zwei beliebigen Geraden, Ebenen oder chemischen Bindungen, sofern sich ihre Richtungen durch Vektoren beschreiben lassen.

Häufige Fehler

• Das Ergebnis als Vektor schreiben, zum Beispiel $(8, 0, -6)$, statt als Summe 2.
• Beim Berechnen der Beträge für die Winkelformel die Quadratwurzeln vergessen.
• In der Formel der Orthogonalprojektion durch $|\mathbf{b}|$ statt durch $|\mathbf{b}|^2$ teilen.
• Beim Berechnen von $\cos\theta$ oder seiner Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner Grad und Bogenmaß verwechseln.
• Schließen, dass zwei Vektoren orthogonal sind, obwohl einer von ihnen in Wirklichkeit der Nullvektor ist.

Das Vorzeichen ist ein guter Plausibilitätstest. Zeigen zwei Vektoren in deiner Skizze deutlich in ähnliche Richtungen, muss das Skalarprodukt positiv sein; liefert deine Rechnung eine negative Zahl, suche nach einem Vorzeichenfehler in einer Koordinate.

Übungen

Löse sie und vergleiche dann mit den folgenden Lösungen. Berechne zuerst $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$; die Produkte sind 4, $-3$ und $-10$, das Ergebnis ist also $-9$, und der negative Wert zeigt, dass der Winkel stumpf ist. Bestimme dann $k$ so, dass $(2, k)$ orthogonal zu $(3, -6)$ ist: Aus $6 - 6k = 0$ folgt $k = 1$. Bestimme schließlich den Winkel zwischen $(1, 0)$ und $(1, 1)$: Das Skalarprodukt ist 1, und die Beträge sind 1 und $\sqrt{2}$, der Winkel beträgt also 45 Grad, wie eine schnelle Skizze bestätigt.

Ein wenig Geschichte

Die Vektorschreibweise ist jünger als fast die gesamte Schulmathematik. In den 1840er-Jahren erfand William Rowan Hamilton die Quaternionen, Zahlen mit einem Realteil und drei Imaginärteilen, und das Produkt zweier reiner Quaternionen enthielt zugleich einen skalaren und einen vektoriellen Teil. In den 1880er-Jahren trennten Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside diese beiden Teile in Skalarprodukt und Kreuzprodukt und gaben den Physikern die einfachere Vektoralgebra, die bis heute gelehrt wird. Gibbs wählte den Mittelpunkt als Rechenzeichen, daher kommt der ebenfalls gebräuchliche Name Punktprodukt.

Häufige Fragen