Das Kreuzprodukt zweier Vektoren erklärt

Was das Kreuzprodukt liefert

Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine Zahl. Das Kreuzprodukt dagegen macht aus zwei Vektoren einen dritten Vektor. Es ist nur in drei Dimensionen definiert, und sein Ergebnis hat zwei wesentliche Merkmale. Seine Richtung ist orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren, und sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das sie aufspannen:

Dabei ist $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren, zwischen 0 und 180 Grad. Da der Sinus von 0 und von 180 Grad null ist, ist das Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren immer der Nullvektor, und orthogonale Vektoren ergeben den größtmöglichen Betrag für ihre Längen.

Die Koordinatenformel

Für $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ und $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ lauten die Koordinaten:

Diese Formel ist schwer zu merken, deshalb verwenden die meisten eine symbolische Determinante. Schreibe die Einheitsvektoren $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ und $\mathbf{k}$ in die erste Zeile, darunter die Koordinaten von $\mathbf{a}$ und von $\mathbf{b}$, und entwickle nach der ersten Zeile:

Schließe immer mit den beiden Skalarprodukt-Proben ab. Sie dauern Sekunden und finden fast jeden Vorzeichenfehler, vor allem in der mittleren Koordinate.

Die Rechte-Hand-Regel und die Reihenfolge

Es gibt zwei entgegengesetzte Richtungen, die zu beiden Vektoren orthogonal sind, und die Rechte-Hand-Regel wählt eine davon aus. Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang $\mathbf{a}$, krümme sie in Richtung $\mathbf{b}$, und der Daumen zeigt die Richtung von $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ an. Für die Einheitsvektoren der Standardbasis ergibt sich $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ und $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Vertauscht man die Reihenfolge, zeigt der Daumen in die andere Richtung: Das Kreuzprodukt ist also antikommutativ:

Es ist auch nicht assoziativ: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, während $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$ gilt. Dafür ist es distributiv bezüglich der Addition, und Skalare lassen sich herausziehen, sodass $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ gilt.

Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken

Da sein Betrag der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist, liefert das Kreuzprodukt Flächen direkt aus Koordinaten. Die Vektoren aus Beispiel 1 spannen ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ auf, und das Dreieck mit diesen beiden Seiten hat die Hälfte dieser Fläche, etwa 3,67.

Normalenvektoren und Ebenengleichungen

Eine Ebene ist durch einen ihrer Punkte und einen Normalenvektor, der senkrecht auf ihr steht, festgelegt. Da das Kreuzprodukt zweier Vektoren der Ebene zu beiden orthogonal ist, ist es genau ein solcher Normalenvektor. In Beispiel 2 ist der Vektor $(6, 3, 2)$ ein Normalenvektor der Ebene durch $P$, $Q$ und $R$, die Ebene hat also die Gleichung $6x + 3y + 2z = d$. Setzt man $P(1, 0, 0)$ ein, erhält man $d = 6$.

Die Ebene ist $6x + 3y + 2z = 6$, und auch $Q$ und $R$ erfüllen sie: $3 \cdot 2 = 6$ und $2 \cdot 3 = 6$. Dieselbe Idee wird in der 3D-Computergrafik ständig verwendet, wo jedes Dreieck eines Modells einen Normalenvektor braucht, um seine Beleuchtung festzulegen und zu bestimmen, welche Seite der Kamera zugewandt ist.

Drehmoment und weitere Anwendungen in der Physik

Das Drehmoment, das die Drehwirkung einer Kraft misst, ist ein Kreuzprodukt: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, wobei $\mathbf{r}$ von der Drehachse zum Angriffspunkt der Kraft zeigt. Sein Betrag ist $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

Auch der Drehimpuls und die magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung sind Kreuzprodukte, und in allen Fällen gibt die Rechte-Hand-Regel die Richtung des Ergebnisses an.

Das Spatprodukt und das Volumen

Kombiniert man beide Produkte, erhält man das Spatprodukt $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, das gleich der $3 \times 3$-Determinante mit den Zeilen $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ und $\mathbf{c}$ ist. Sein Betrag ist das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats. Für $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ und $(0, 0, 3)$ ist der Spat ein einfacher Quader, und das Spatprodukt ist $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Ein Spatprodukt gleich null bedeutet, dass die drei Vektoren in einer Ebene liegen.

Der Kreuzprodukt-Rechner berechnet Kreuzprodukte mit jedem Schritt der Determinante und liefert auch die Flächen und den Winkel zwischen den Vektoren. Kombiniere ihn mit dem Skalarprodukt-Rechner, um die Orthogonalität zu prüfen.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Die Deutung als Fläche löst auch eine klassische Abstandsaufgabe. Nimm eine Gerade durch einen Punkt $A$ mit dem Richtungsvektor $\mathbf{u}$ und einen Punkt $P$ außerhalb der Geraden. Das von $\overrightarrow{AP}$ und $\mathbf{u}$ aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, und da seine Grundseite die Länge $|\mathbf{u}|$ hat, ist seine Höhe, also der Abstand von $P$ zur Geraden, die Fläche geteilt durch die Grundseite.

Nimm zum Beispiel die Gerade durch den Ursprung mit dem Richtungsvektor $(1, 2, 2)$ und den Punkt $P(2, 1, 3)$. Das Kreuzprodukt $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ hat den Betrag $\sqrt{26}$, und der Richtungsvektor hat den Betrag 3, der Abstand ist also $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Zur Bestätigung kannst du projizieren: Der Punkt ist $\sqrt{14}$ vom Ursprung entfernt, seine Projektion auf die Gerade $\frac{10}{3}$, und der Satz des Pythagoras liefert denselben Abstand.

Häufige Fehler und Übungen

• Beim Entwickeln der Determinante das Minuszeichen der mittleren Koordinate vergessen.
• Die Reihenfolge der Vektoren vertauschen, wodurch sich die Richtung des Ergebnisses umkehrt.
• Den Betrag des Kreuzprodukts statt seiner Hälfte als Dreiecksfläche verwenden.
• Versuchen, das Kreuzprodukt ebener Vektoren zu berechnen, ohne vorher eine dritte Koordinate gleich null zu ergänzen.

Prüfe zur Übung, dass $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$ gilt, also die Regel $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Bestätige dann, dass $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ der Nullvektor ist, da der zweite Vektor das Doppelte des ersten ist. Berechne schließlich $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$; du solltest $(1, -1, 1)$ erhalten, und beide Skalarprodukt-Proben sollten null ergeben.

Warum die Formel einen orthogonalen Vektor liefert

Es lohnt sich zu verstehen, warum die Koordinatenformel funktioniert, statt ihr einfach zu vertrauen. Bilde das Skalarprodukt des Ergebnisses mit $\mathbf{a}$ selbst: Du erhältst $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. Multipliziert man aus, taucht jeder Summand zweimal mit entgegengesetzten Vorzeichen auf, die Summe ist also genau null. Dieselbe Vereinfachung passiert mit $\mathbf{b}$. In der Sprache der Determinanten ersetzt das Skalarprodukt mit $\mathbf{a}$ die Zeile der Einheitsvektoren durch $\mathbf{a}$, was eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen ergibt, und eine solche Determinante ist immer null. In beiden Fällen ist die Orthogonalität in die Formel eingebaut und hängt nicht vom Glück bei einigen besonderen Beispielen ab.

Häufige Fragen