Einführung in Matrizen: ein Leitfaden für Einsteiger

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, den sogenannten Einträgen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$-Matrix, gesprochen „m Kreuz n“, und die Zeilen kommen immer zuerst. Der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ der Matrix $A$ wird mit $a_{ij}$ bezeichnet. Zum Beispiel:

Eine Matrix mit nur einer Spalte ist ein Spaltenvektor, eine Matrix mit nur einer Zeile ein Zeilenvektor. Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen wie Spalten; nur quadratische Matrizen können eine Determinante und eine Inverse haben. Zwei Matrizen sind nur dann gleich, wenn sie dasselbe Format haben und alle entsprechenden Einträge übereinstimmen.

Matrizenaddition und Multiplikation mit einem Skalar

Matrizen gleichen Formats werden eintragsweise addiert: Der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ von $A + B$ ist $a_{ij} + b_{ij}$. Die Subtraktion funktioniert genauso. Matrizen verschiedener Formate kann man nicht addieren, weil es keine sinnvolle Möglichkeit gibt, ihre Einträge einander zuzuordnen.

Multipliziert man eine Matrix mit einem Skalar, also einer gewöhnlichen Zahl, wird jeder Eintrag mit dieser Zahl multipliziert. Diese Operationen verhalten sich genau wie die gewohnte Arithmetik: Die Addition ist kommutativ und assoziativ, und es gilt $k(A + B) = kA + kB$.

Matrizenmultiplikation: Zeile mal Spalte

Zwei Matrizen werden nicht eintragsweise multipliziert. Jeder Eintrag des Produkts $AB$ ist das Skalarprodukt einer Zeile von $A$ mit einer Spalte von $B$:

Dazu muss die Spaltenzahl von $A$ gleich der Zeilenzahl von $B$ sein. Ist $A$ eine $m \times n$-Matrix und $B$ eine $n \times p$-Matrix, dann ist das Produkt eine $m \times p$-Matrix. Zur schnellen Kontrolle schreibst du die Formate nebeneinander: Die inneren Zahlen müssen übereinstimmen, die äußeren geben das Format des Ergebnisses an. Eine $2 \times 3$-Matrix mal eine $3 \times 4$-Matrix ergibt eine $2 \times 4$-Matrix, aber das Produkt einer $2 \times 3$-Matrix mit einer weiteren $2 \times 3$-Matrix ist nicht definiert.

Die Reihenfolge zählt: AB ist selten gleich BA

Vertauscht man im vorigen Beispiel die Reihenfolge, erhält man $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$, eine andere Matrix. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Bei nicht quadratischen Matrizen ist es noch schlimmer: Eine Reihenfolge kann definiert sein und die andere nicht, oder die beiden Produkte haben verschiedene Formate.

Andere vertraute Regeln gelten weiterhin. Das Produkt ist assoziativ, $(AB)C = A(BC)$, und distributiv bezüglich der Addition, $A(B + C) = AB + AC$. Zwei Warnungen solltest du dir aber merken. Das Produkt zweier von der Nullmatrix verschiedener Matrizen kann die Nullmatrix sein, und aus $AB = AC$ darf man $A$ nicht kürzen, es sei denn, $A$ ist invertierbar. Deshalb verlangt die Matrizenrechnung etwas mehr Sorgfalt als das Rechnen mit Zahlen.

Achte beim Ausmultiplizieren von Ausdrücken wie $(A + B)^2$ auf die Reihenfolge: Das Ergebnis ist $A^2 + AB + BA + B^2$ und nicht $A^2 + 2AB + B^2$.

Die Einheitsmatrix und die transponierte Matrix

Die Einheitsmatrix $I$ ist die quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen an allen anderen Stellen. Sie spielt die Rolle der Zahl 1 in der Arithmetik: $AI = IA = A$ für jede quadratische Matrix $A$ passenden Formats. Die Nullmatrix, deren Einträge alle null sind, spielt die Rolle der 0.

Die Transponierte $A^T$ vertauscht Zeilen und Spalten: Der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ von $A^T$ ist $a_{ji}$. Aus einer $2 \times 3$-Matrix wird eine $3 \times 2$-Matrix. Eine nützliche Regel: Beim Transponieren eines Produkts kehrt sich die Reihenfolge der Faktoren um.

Eine Matrix, die gleich ihrer eigenen Transponierten ist, heißt symmetrisch. Symmetrische Matrizen tauchen in Statistik und Physik ständig auf, und ihre Eigenwerte verhalten sich besonders gutmütig: Sie sind immer reell.

Matrizen und Gleichungssysteme

Eine der wichtigsten Anwendungen von Matrizen ist es, ein lineares Gleichungssystem kompakt aufzuschreiben. Das System $2x + y = 5$ und $x - 3y = -1$ wird zu:

Multipliziert man die linke Seite aus, erhält man genau die beiden Gleichungen zurück, eine gute Kontrolle, ob die Matrix richtig aufgestellt ist. Die Lösung ist $x = 2$, $y = 1$. In dieser Form kann man dieselben Verfahren, das Gauß-Verfahren oder die inverse Matrix, verwenden, um zwei Gleichungen oder zweitausend zu lösen. Unser Leitfaden zum Lösen von Gleichungssystemen erklärt die Verfahren von Hand, und der Gleichungssystem-Rechner löst sie Schritt für Schritt.

Wofür man Matrizen braucht

• Computergrafik: Drehungen, Skalierungen und Projektionen von 3D-Modellen sind Matrizenprodukte, die auf jeden Eckpunkt angewendet werden.
• Data Science: Ein Datensatz ist eine Matrix mit einer Zeile pro Beobachtung und einer Spalte pro Merkmal, und Verfahren wie die Hauptkomponentenanalyse arbeiten direkt mit ihr.
• Netzwerke: Eine Adjazenzmatrix gibt an, welche Knoten verbunden sind, und ihre Potenzen zählen die Wege einer bestimmten Länge.
• Wirtschaft und Technik: Input-Output-Modelle und die Analyse elektrischer Schaltungen führen auf große lineare Gleichungssysteme.
• Maschinelles Lernen: Die Schichten eines neuronalen Netzes sind im Kern Matrizenprodukte.

Der Matrizenrechner addiert, multipliziert und transponiert Matrizen beliebiger passender Formate und zeigt jede Rechnung Zeile mal Spalte, was ihn praktisch zum Kontrollieren der Hausaufgaben macht.

Potenzen und Diagonalmatrizen

Eine quadratische Matrix kann man mit sich selbst multiplizieren, daher sind Potenzen wie $A^2 = AA$ und $A^3 = AAA$ sinnvoll. Nicht quadratische Matrizen haben keine Potenzen, weil die Formate nicht zusammenpassen würden. Matrixpotenzen treten immer dann auf, wenn sich ein Vorgang wiederholt: Beschreibt eine Matrix, wie sich eine Bevölkerung in einem Jahr zwischen Regionen verlagert, dann beschreibt ihre zehnte Potenz die Verlagerung in zehn Jahren.

Diagonalmatrizen, deren einzige von null verschiedene Einträge auf der Hauptdiagonalen stehen, sind besonders einfach zu handhaben. Das Produkt zweier Diagonalmatrizen erhält man, indem man ihre Diagonaleinträge multipliziert, also bedeutet das Potenzieren einer Diagonalmatrix, jeden Diagonaleintrag zu potenzieren. Zum Beispiel ist das Quadrat der Diagonalmatrix mit den Einträgen 2 und 3 die Diagonalmatrix mit den Einträgen 4 und 9. Ein großer Teil der fortgeschrittenen linearen Algebra besteht darin, eine Matrix auf Diagonalform zu bringen, damit solche Rechnungen einfach werden.

Häufige Fehler bei Matrizen

• Zeilen und Spalten bei der Angabe des Formats verwechseln. Die Zeilen kommen immer zuerst.
• Eintragsweise statt Zeile mal Spalte multiplizieren.
• Annehmen, dass $AB = BA$ gilt, oder beim Vereinfachen eines Ausdrucks die Reihenfolge der Faktoren vertauschen.
• Versuchen, Matrizen verschiedener Formate zu addieren oder Matrizen zu multiplizieren, deren innere Formatzahlen nicht übereinstimmen.
• Vergessen, dass sich beim Transponieren eines Produkts die Reihenfolge der Faktoren umkehrt.

Ein kurzer Blick auf die Formate vor jeder Rechnung verhindert die meisten dieser Fehler. Schreib das Format unter jede Matrix, prüfe, ob die Operation definiert ist, und sag das Format des Ergebnisses voraus, bevor du einen einzigen Eintrag berechnest.

Häufige Fragen