Rechner für inverse Matrizen

Über den Rechner für inverse Matrizen

Die Inverse einer Matrix übernimmt die Rolle, die bei Zahlen die Division spielt. Gilt $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , dann ist $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ : Eine Inverse löst auf einen Schlag alle Gleichungssysteme mit derselben Koeffizientenmatrix. Inverse dienen außerdem dazu, Abbildungen in der Computergrafik rückgängig zu machen und Nachrichten mit der Hill-Chiffre zu entschlüsseln, und sie tauchen überall in der Statistik auf, etwa in der Formel der linearen Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Dieser Rechner prüft zuerst, ob die Determinante ungleich null ist, denn nur dann existiert die Inverse. Bei einer $2 \times 2$ -Matrix wendet er die schnelle Regel „vertauschen und Vorzeichen wechseln“ an. Bei größeren Matrizen führt er das Gauß-Jordan-Verfahren an der erweiterten Matrix $[A \mid I]$ durch und listet jede Zeilenumformung auf. Alle Einträge sind exakte Brüche, und der letzte Schritt multipliziert $A$ mit dem Ergebnis, um zu bestätigen, dass die Einheitsmatrix herauskommt.

Was ist die Inverse einer Matrix?

Die Inverse einer quadratischen Matrix $A$ ist die Matrix $A^{-1}$ mit $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ , wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. Wenn sie existiert, ist sie eindeutig, und die Matrix heißt invertierbar oder regulär.

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Gleichwertige Bedingungen sind, dass ihre Zeilen linear unabhängig sind, dass ihr Rang gleich ihrer Größe ist und dass die Gleichung $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ nur die Nulllösung hat. Eine nicht quadratische Matrix hat nie eine beidseitige Inverse.

So benutzt du den Rechner für inverse Matrizen

Gib eine quadratische Matrix mit Leerzeichen zwischen den Einträgen und Semikolons zwischen den Zeilen ein, zum Beispiel 4 7; 2 6.
Klicke auf Inverse berechnen.
Sieh dir den Determinantenschritt an; ist sie null, hat die Matrix keine Inverse.
Verfolge die Zeilenumformungen oder die 2×2-Regel bis zur Inversen.
Prüfe die abschließende Probe: A·A⁻¹ ist gleich der Einheitsmatrix.

Formeln

Inverse einer 2×2-Matrix

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Gauß-Jordan-Verfahren

[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

Inverse eines Produkts

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Lösen eines Gleichungssystems

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

Durchgerechnetes Beispiel: 2×2-Matrix

Das Beispiel invertiert $A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}$ . Ihre Determinante ist $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ und damit ungleich null: Die Inverse existiert also.

Vertauscht man die Diagonaleinträge, wechselt das Vorzeichen der beiden anderen und teilt durch 10, erhält man $\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}$ . Multipliziert man dieses Ergebnis mit $A$ , kommt die Einheitsmatrix heraus, wie der letzte Schritt bestätigt.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Die Inverse einer 2×2-Matrix berechnen.

\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Prüfen, dass die Determinante ungleich null ist
$\det A = 10 \neq 0$
a und d vertauschen, b und c mit umgekehrtem Vorzeichen versehen, dann durch die Determinante teilen
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
Probe: A·A⁻¹ = I
$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Verwendete Formeln

Inverse einer 2×2-Matrix
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Gauß-Jordan
$[A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]$

Die Determinante ist 10, also ist A invertierbar. Alle Einträge der Inversen sind exakt.

Probe

Multipliziert man A mit dem Ergebnis, erhält man exakt die Einheitsmatrix.

Ausführliche Erklärung

Gauß-Jordan-Verfahren

Bei einer $3 \times 3$ -Matrix oder größer schreibst du $A$ und die Einheitsmatrix nebeneinander und wendest die Zeilenumformungen auf die ganze erweiterte Matrix an. Teile jede Pivotzeile so, dass das Pivotelement 1 wird, und eliminiere dann alle anderen Einträge dieser Spalte. Ist die linke Hälfte zur Einheitsmatrix geworden, ist die rechte Hälfte $A^{-1}$ , denn dieselbe Folge von Umformungen, die $A$ in $I$ überführt, überführt $I$ in $A^{-1}$ .

Für die Matrix mit den Zeilen $(2, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ und $(0, 1, 3)$ teilt der Rechner die erste Zeile durch 2, eliminiert die erste und dann die zweite Spalte, teilt die dritte Zeile durch $\frac72$ und eliminiert die dritte Spalte. Alle Einträge der Inversen sind Vielfache von $\frac17$ , weil die Determinante 7 ist.

Nicht invertierbare Matrizen

Ist die Determinante null, erzeugt die Elimination links eine Nullzeile und erreicht nie die Einheitsmatrix. Der Rechner erkennt das gleich zu Beginn. Die Matrix $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ ist nicht invertierbar, weil ihre zweite Zeile das Doppelte der ersten ist: Der Rechner meldet, dass sie keine Inverse hat, statt eine unsinnige Antwort zu zeigen.

Eine bloß kleine Determinante ist in exakter Arithmetik kein Problem, bei realen Daten aber ein Warnsignal: Die Inverse hat dann große Einträge, und kleine Messfehler in $A$ werden stark verstärkt.

Die Inverse verwenden

Um $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ zu lösen, multiplizierst du $A^{-1}$ mit $\mathbf{b}$ . Das lohnt sich, wenn mehrere Systeme dieselbe Matrix haben. Für ein einzelnes System ist es meist weniger Aufwand, die erweiterte Matrix $[A \mid \mathbf{b}]$ direkt umzuformen, als zuerst die vollständige Inverse zu berechnen.

Die Abkürzung für $2 \times 2$ -Matrizen ist kein eigener Trick: Sie ist genau das, was das Gauß-Jordan-Verfahren liefert, wenn man es symbolisch auf eine beliebige $2 \times 2$ -Matrix anwendet. Dass die Determinante $ad - bc$ im Nenner jedes Eintrags steht, erklärt, warum eine Determinante null die Inverse unmöglich macht.

Häufige Fehler

In der 2×2-Formel vergessen, durch die Determinante zu teilen.
Die Einträge außerhalb der Diagonale vertauschen, statt ihr Vorzeichen zu wechseln.
Eine Zeilenumformung nur auf die linke Hälfte der erweiterten Matrix anwenden.
$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ schreiben; die Reihenfolge kehrt sich um.
Versuchen, eine Matrix mit Determinante null zu invertieren.

Tipps

Berechne zuerst die Determinante; ist sie null, hörst du auf.
Behalte die Einträge als Brüche, damit Rundungsfehler die Probe mit der Einheitsmatrix nicht verderben.
Prüfe das Ergebnis, indem du $A$ mit deiner Antwort multiplizierst; jeder Diagonaleintrag muss 1 sein und jeder andere 0.
Suche die Determinante in den Nennern der Einträge der Inversen.
Nutze den Matrizenrechner, um die Inverse mit einem Vektor der rechten Seite zu multiplizieren.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Inverse einer 2×2-Matrix?

Vertausche die beiden Diagonaleinträge, wechsle das Vorzeichen der beiden anderen und teile jeden Eintrag durch die Determinante ad − bc.

Wie berechnet man die Inverse einer 3×3-Matrix?

Schreibe die erweiterte Matrix [A | I] auf und forme die linke Hälfte mit Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix um. Die rechte Hälfte ist dann die Inverse.

Wann hat eine Matrix keine Inverse?

Wenn ihre Determinante null ist. Eine solche Matrix heißt singulär oder nicht invertierbar; ihre Zeilen sind linear abhängig, und die Elimination kann die Einheitsmatrix nicht erreichen.

Wie prüft man eine Inverse?

Multipliziere die ursprüngliche Matrix mit der Inversen. Ist das Ergebnis die Einheitsmatrix, stimmt die Inverse. Der Rechner macht das automatisch.

Hat eine nicht quadratische Matrix eine Inverse?

Nein. Nur quadratische Matrizen können eine gültige beidseitige Inverse haben.

Kann ich Dezimalzahlen eingeben?

Ja. Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt: 0.5 wird als 1/2 behandelt, und die Inverse wird exakt berechnet.

Was ist die Inverse der Einheitsmatrix?

Die Einheitsmatrix selbst, denn sie mit sich selbst zu multiplizieren ändert sie nicht.

Probier den Rechner für inverse Matrizen aus

Gib eine quadratische Matrix ein und erhalte ihre exakte Inverse mit jeder Zeilenumformung und der abschließenden Probe.

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Was ist die Inverse einer Matrix?

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Inverse eines Produkts

Lösen eines Gleichungssystems

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Verwendete Formeln

Probe

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Nicht invertierbare Matrizen

Die Inverse verwenden

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