Rechner für lineare Algebra
Die lineare Algebra ist die Mathematik der Vektoren und Matrizen und steckt hinter allem, vom Lösen von Gleichungssystemen bis zu Computergrafik und Data Science. Diese Rechner arbeiten mit exakten Brüchen: Die Zeilenumformungen, Laplace-Entwicklungen und charakteristischen Polynome, die sie zeigen, entsprechen dem, was du von Hand schreiben würdest.
Rechner
Matrizenrechner
Multipliziere, addiere oder subtrahiere Matrizen, multipliziere eine davon mit einem Skalar oder potenziere sie, berechne die Transponierte, die reduzierte Zeilenstufenform, den Rang und die Spur, mit exakten Brüchen und allen Schritten.
Determinantenrechner
Gib eine quadratische Matrix ein, um ihre Determinante zu berechnen, mit der Regel ad − bc für 2×2, der Laplace-Entwicklung für 3×3 und der Umformung auf Dreiecksform mit dem gaußschen Eliminationsverfahren bei größeren Matrizen, in exakter Arithmetik.
Rechner für inverse Matrizen
Gib eine quadratische Matrix ein, um ihre Inverse mit exakten Brüchen zu berechnen, mit der Abkürzung für 2×2-Matrizen oder dem Gauß-Jordan-Verfahren an [A | I], und prüfe, dass A mal ihre Inverse die Einheitsmatrix ergibt.
Eigenwert-Rechner
Gib eine quadratische Matrix ein, um ihre Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen, mit dem charakteristischen Polynom, den exakten Nullstellen einschließlich Wurzelausdrücken und komplexer Paare und der Kernberechnung für jeden Eigenvektor.
Skalarprodukt-Rechner
Gib zwei Vektoren ein und erhalte das Skalarprodukt, die Beträge, den Winkel zwischen ihnen und die Projektion des einen auf den anderen, wobei jede Multiplikation und jede Addition sichtbar ist.
Kreuzprodukt-Rechner
Gib zwei räumliche Vektoren ein und erhalte das Kreuzprodukt mit der Determinantenmethode, seinen Betrag, also den Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms, und eine Probe, dass es zu beiden orthogonal ist.
Behandelte Themen
- Matrizenrechnung
- Summe, Produkt, Transponierte, Rang und gaußsches Eliminationsverfahren.
- Determinanten und Inverse
- Laplace-Entwicklung, Gauß-Jordan-Verfahren und Fälle, in denen eine Matrix nicht invertierbar ist.
- Eigenwerte
- Charakteristisches Polynom, Eigenvektoren und Vielfachheiten.
- Vektoren
- Skalarprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren, Projektionen und Kreuzprodukt.
Exakte Arithmetik für Matrizen
Matrizenrechnungen verfälschen sich leicht, wenn man in jedem Schritt Dezimalzahlen rundet. Diese Rechner verwenden von Anfang bis Ende exakte Brüche: Eine Stufenform aus dem gaußschen Eliminationsverfahren oder eine inverse Matrix erscheint so, wie du sie von Hand erhalten würdest, und ein Eintrag wie wird nie zu . Ist ein Ergebnis wie ein Eigenwert irrational, wird die exakte Form mit Wurzeln zusammen mit einem Näherungswert angegeben.
Jede Operation wird Schritt für Schritt aufgeschlüsselt: die angewandte Zeilenumformung, der entwickelte Kofaktor oder das charakteristische Polynom, das faktorisiert wird. Deshalb eignen sich die Werkzeuge gut zum Kontrollieren von Übungsaufgaben, bei denen ein einziger Vorzeichenfehler am Anfang alle folgenden Zeilen verändert.
Wo lineare Algebra gebraucht wird
Lineare Gleichungssysteme, Computergrafik, maschinelles Lernen, Wirtschaftswissenschaften und Quantenphysik beruhen auf Vektoren und Matrizen. Eine Determinante zeigt, ob ein System eine eindeutige Lösung hat, Eigenwerte beschreiben das Langzeitverhalten eines Prozesses, das Skalarprodukt misst Winkel und Projektionen, und das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der auf zwei anderen senkrecht steht. Wer diese Operationen von Hand versteht, kann die Ergebnisse jeder Software viel leichter deuten.
Anleitungen
- Wie du Mathe-Hausaufgaben und Ergebnisse überprüfst
Fast jedes Matheergebnis lässt sich ohne Lösungsblatt überprüfen. Einsetzen in die Gleichung, Rückwärtsrechnen, Überschlagen, spezielle Werte testen und Einheiten kontrollieren finden die allermeisten Fehler in einem Bruchteil der Zeit, die die Aufgabe selbst gekostet hat.