Skalarprodukt-Rechner

Über den Skalarprodukt-Rechner

Das Skalarprodukt ist die einfachste Art, zwei Vektoren zu vergleichen. Man multipliziert die einander entsprechenden Komponenten und addiert die Ergebnisse; heraus kommt eine einzige Zahl, die misst, wie sehr die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Mit dieser Zahl bestimmst du den Winkel zwischen ihnen, prüfst, ob sie orthogonal sind, und projizierst einen Vektor auf den anderen.

Dieser Rechner akzeptiert Vektoren mit beliebig vielen Komponenten, solange beide gleich lang sind. Er zeigt die Produkte der Komponenten, ihre Summe, die beiden Beträge, den Winkel in Grad sowie die skalare und die vektorielle Projektion des ersten Vektors auf den zweiten. Ist einer der Vektoren der Nullvektor, erklärt er, warum sich kein Winkel definieren lässt.

Was ist das Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt von $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ und $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ ist $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . Anders als beim Kreuzprodukt ist das Ergebnis eine Zahl und kein Vektor.

Geometrisch gilt $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Das Skalarprodukt ist positiv, wenn der Winkel spitz ist, null, wenn die Vektoren orthogonal sind, und negativ, wenn der Winkel stumpf ist.

So benutzt du den Skalarprodukt-Rechner

Gib die Komponenten des ersten Vektors durch Kommas getrennt ein, zum Beispiel 1, 2, 3.
Gib den zweiten Vektor mit gleich vielen Komponenten ein.
Klicke auf Berechnen.
Lies das Skalarprodukt, die Beträge und den Winkel zwischen den Vektoren ab.
Nutze den Projektionsschritt, wenn du den Anteil eines Vektors in Richtung des anderen brauchst.

Formeln

Skalarprodukt

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Betrag

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Winkel zwischen zwei Vektoren

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Projektion von u auf v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Durchgerechnetes Beispiel: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

Das Beispiel verwendet $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ und $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Die Produkte der Komponenten sind 4, $-10$ und 18, ihre Summe ist 12.

Die Beträge sind $\sqrt{14}$ und $\sqrt{77}$ , also gilt $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ , und der Winkel beträgt etwa $68.56°$ . Das positive Skalarprodukt bestätigt, dass der Winkel spitz ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

u v = 12

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Skalarprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Lösungsweg Schritt für Schritt

Entsprechende Komponenten multiplizieren
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Die Produkte addieren
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Die Beträge berechnen
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Winkel zwischen den Vektoren
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
Skalare Projektion und Vektorprojektion von u auf v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Verwendete Formeln

Skalarprodukt
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

Das Skalarprodukt ist positiv: Der Winkel zwischen den Vektoren ist also spitz.

Probe

Exakt berechnet; das Skalarprodukt ist symmetrisch, also liefert v·u denselben Wert.

Ausführliche Erklärung

Winkel messen und Orthogonalität prüfen

Stellt man die geometrische Formel nach $\cos\theta$ um, erhält man den Winkel zwischen zwei beliebigen Vektoren, die nicht null sind. Da allein das Vorzeichen dieses Kosinus entscheidet, ob ein Winkel spitz oder stumpf ist, genügt dafür das Vorzeichen des Skalarprodukts, noch bevor du einen Betrag berechnest.

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Für $\langle 1, 0 \rangle$ und $\langle 0, 1 \rangle$ ist das Skalarprodukt 0 und der Winkel $90°$ . Dieser Test funktioniert in jeder Dimension; deshalb wird Orthogonalität ab Dimension vier, wo man keine Winkel mehr zeichnen kann, über das Skalarprodukt definiert.

Orthogonalprojektionen

Die skalare Projektion $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ ist die vorzeichenbehaftete Länge des Schattens, den $\mathbf{u}$ auf die Gerade in Richtung von $\mathbf{v}$ wirft. Die vektorielle Projektion multipliziert den Einheitsvektor in Richtung von $\mathbf{v}$ mit dieser Länge. Zieht man die Projektion von $\mathbf{u}$ ab, bleibt der zu $\mathbf{v}$ orthogonale Anteil übrig: Auf dieser Idee beruhen das Gram-Schmidt-Verfahren und die Methode der kleinsten Quadrate.

In der Physik ist die Arbeit einer konstanten Kraft $\mathbf{F}$ , die einen Körper um eine Verschiebung $\mathbf{d}$ bewegt, $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : Nur der Anteil der Kraft in Bewegungsrichtung verrichtet Arbeit.

Eigenschaften

Das Skalarprodukt ist symmetrisch, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , und distributiv bezüglich der Addition. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seines Betrags, und genau so werden Beträge berechnet. Multipliziert man einen der Vektoren mit $k$ , vervielfacht sich das Skalarprodukt um $k$ , der Winkel bleibt aber gleich, wenn $k$ positiv ist.

Das Skalarprodukt hängt auch mit dem Kosinussatz zusammen. Multipliziert man $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ aus, erhält man $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ , also genau den Kosinussatz für das Dreieck aus den beiden Vektoren und ihrer Differenz. Diese Identität erklärt, warum die Winkelformel funktioniert.

Häufige Fehler

Einen Vektor als Antwort erwarten; das Skalarprodukt ist eine einzige Zahl.
Komponenten multiplizieren, die nicht zueinander gehören, oder Vektoren unterschiedlicher Länge verwenden.
Beim Berechnen der Beträge die Quadratwurzel vergessen.
Den Taschenrechner im Bogenmaß lassen, obwohl der Winkel in Grad gefragt ist.
Auf den falschen Vektor projizieren; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ und $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ sind verschieden.

Tipps

Prüfe zuerst die Orthogonalität: Ein Skalarprodukt von null bedeutet einen rechten Winkel.
Sag am Vorzeichen des Skalarprodukts voraus, ob der Winkel spitz oder stumpf ist.
Normierst du die Vektoren vorher auf die Länge 1, ist das Skalarprodukt direkt $\cos\theta$ .
Nutze den Kreuzprodukt-Rechner, wenn du einen Vektor brauchst, der zu beiden orthogonal ist.
Nutze den Matrizenrechner, um viele Skalarprodukte auf einmal als Matrizenprodukt zu berechnen.
Schreibe die beiden Vektoren als Spalten nebeneinander, damit die zusammengehörigen Komponenten vor dem Multiplizieren untereinander stehen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man das Skalarprodukt?

Multipliziere die einander entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren und addiere die Produkte. Für ⟨1, 2, 3⟩ und ⟨4, −5, 6⟩ ergibt sich 4 − 10 + 18 = 12.

Wie bestimmt man den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Teile das Skalarprodukt durch das Produkt der Beträge und berechne den Arkuskosinus. Der Rechner zeigt den Winkel in Grad an.

Was bedeutet ein Skalarprodukt von null?

Dass die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander) sind, sofern keiner von beiden der Nullvektor ist.

Kann das Skalarprodukt negativ sein?

Ja. Ein negatives Skalarprodukt bedeutet, dass der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90° ist.

Funktioniert der Rechner mit mehr als drei Dimensionen?

Ja. Die Vektoren können beliebig viele Komponenten haben, solange beide gleich viele haben.

Was ist der Unterschied zwischen Skalarprodukt und Kreuzprodukt?

Das Skalarprodukt liefert eine Zahl, die die Ausrichtung misst, und funktioniert in jeder Dimension. Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der zu beiden gegebenen Vektoren orthogonal ist, und ist nur für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert.

Was passiert, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist?

Das Skalarprodukt ist 0, aber der Winkel ist nicht definiert, weil der Nullvektor keine Richtung hat. Der Rechner weist darauf hin, statt einen Winkel anzugeben.

Probier den Skalarprodukt-Rechner aus

Gib zwei Vektoren ein und erhalte das Skalarprodukt, den Winkel zwischen ihnen und die Projektion, mit jedem Schritt erklärt.

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