Einheitskreis — exakte Werte für Sinus, Kosinus und Tangens

Über den Einheitskreis-Rechner

Der Einheitskreis macht aus Trigonometrie Koordinaten. Jedem Winkel entspricht ein Punkt auf einem Kreis mit Radius 1, und Kosinus und Sinus des Winkels sind einfach die $x$ -Koordinate und die $y$ -Koordinate dieses Punkts. Wer sich einige besondere Punkte merkt und dann die Symmetrie nutzt, erhält exakte Werte für Dutzende Winkel ohne Taschenrechner.

Dieser Rechner übernimmt diese Überlegungen für dich. Er rechnet den Winkel von Grad in Bogenmaß um oder umgekehrt, reduziert ihn auf eine Umdrehung, bestimmt Quadrant und Bezugswinkel und liest für besondere Winkel exakte Werte wie $\frac{\sqrt3}{2}$ ab. Für alle anderen Winkel liefert er genaue Dezimalwerte. Außerdem zeigt er Tangens, Sekans, Kosekans und Kotangens und weist darauf hin, wenn einer davon nicht definiert ist.

Was ist der Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist der Kreis $x^2 + y^2 = 1$ mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1. Ein Winkel $\theta$ wird von der positiven $x$ -Achse aus gemessen, gegen den Uhrzeigersinn, wenn er positiv ist, und im Uhrzeigersinn, wenn er negativ ist. Der Punkt, in dem sein freier Schenkel den Kreis schneidet, ist $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Weil dieser Punkt auf dem Kreis liegt, gilt $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ für jeden Winkel: Das ist der trigonometrische Pythagoras. Der Tangens ist der Quotient $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , die Steigung des freien Schenkels, und die Kehrwertfunktionen sind $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ und $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

So benutzt du den Einheitskreis-Rechner

Gib den Winkel ein, zum Beispiel 150, -30 oder 5pi/4.
Wähle Gradmaß oder Bogenmaß.
Starte die Berechnung.
Lies Quadrant, Bezugswinkel und die exakten Koordinaten ab.
Nutze die Werte von Tangens und Kehrwertfunktionen unter den Koordinaten.

Formeln

Punkt auf dem Einheitskreis

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

Von Grad in Bogenmaß

\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{Grad}} \cdot \frac{\pi}{180}

Trigonometrischer Pythagoras

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tangens

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Durchgerechnetes Beispiel: θ = 150°

Das Beispiel verwendet $\theta = 150°$ . Der Winkel liegt im zweiten Quadranten, wo $x$ negativ und $y$ positiv ist, und sein Bezugswinkel ist $180° - 150° = 30°$ .

Der Punkt zu $30°$ ist $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . Mit den Vorzeichen des zweiten Quadranten erhältst du $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ und, wenn du den Sinus durch den Kosinus teilst, $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Werte am Einheitskreis für 150°

\theta = 150^\circ

Lösungsweg Schritt für Schritt

Grad in Bogenmaß umrechnen (mit π/180) multiplizieren
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Lage des freien Schenkels: im II. Quadranten
Im II. Quadranten ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ (Vorzeichenregel der Quadranten).
Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse)
$\theta_{\text{Bezug}} = 30^\circ$
Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Tangens = Sinus ÷ Kosinus
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Kehrwertfunktionen
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Verwendete Formeln

Punkt auf dem Einheitskreis
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Tangens und Kehrwerte
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Gradmaß und Bogenmaß
$\text{rad} = \text{Grad} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) endet im II. Quadranten mit dem Bezugswinkel 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Probe

cos²θ + sin²θ = 1 (muss gleich 1) sein.

Ausführliche Erklärung

Besondere Winkel

Drei spitze Winkel haben einfache exakte Werte. Bei $30°$ ist der Punkt $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , bei $45°$ ist er $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ und bei $60°$ ist er $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Diese Werte stammen aus den Dreiecken mit den Winkeln 30-60-90 und 45-45-90 Grad. Zusammen mit den Winkeln auf den Achsen, $0°$ , $90°$ , $180°$ und $270°$ , ergeben sie die sechzehn bekannten Punkte des Einheitskreises.

Bezugswinkel und Vorzeichen der Quadranten

Jeder Winkel hat einen Bezugswinkel: den spitzen Winkel, den sein freier Schenkel mit der $x$ -Achse bildet. Die Koordinaten des Winkels haben denselben Betrag wie die seines Bezugswinkels; nur die Vorzeichen ändern sich je nach Quadrant. Im ersten Quadranten sind beide positiv, im zweiten nur der Sinus, im dritten nur der Tangens, im vierten nur der Kosinus. So ergibt $\frac{5\pi}{4}$ , das sind $225°$ im dritten Quadranten mit dem Bezugswinkel $45°$ , den Punkt $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Winkel über einer vollen Umdrehung oder negative Winkel werden zuerst durch Addieren oder Subtrahieren von $360°$ auf einen gleichwertigen Winkel zurückgeführt. Der Rechner reduziert $765°$ auf $45°$ und behandelt $-30°$ als $330°$ im vierten Quadranten, wo der Punkt $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ ist.

Nicht definierte Werte und andere Winkel

Tangens und Sekans teilen durch den Kosinus: Deshalb sind sie nicht definiert, wenn der freie Schenkel senkrecht steht, bei $90°$ und $270°$ . Kotangens und Kosekans teilen durch den Sinus und sind bei $0°$ und $180°$ nicht definiert. Der Rechner weist auf diese Fälle hin, statt eine sinnlose Zahl anzuzeigen.

Die meisten Winkel, etwa $20°$ , haben keinen einfachen Ausdruck mit Wurzeln. Für sie liefert der Rechner Dezimalwerte, nutzt aber weiterhin Quadrant und Bezugswinkel, damit du verstehst, woher die Vorzeichen kommen.

Häufige Fehler

Die Koordinaten vertauschen: Der Kosinus ist die $x$ -Koordinate, der Sinus die $y$ -Koordinate.
Den Gradmodus für einen Winkel mit $\pi$ verwenden oder den Bogenmaßmodus für einen Winkel in Grad.
Den Bezugswinkel von der $y$ -Achse statt von der $x$ -Achse aus messen.
Das Vorzeichen eines anderen Quadranten verwenden; merke dir, welche Funktionen in welchem Quadranten positiv sind.
$\tan 90°$ als sehr große Zahl angeben, statt festzuhalten, dass der Wert nicht definiert ist.

Tipps

Lerne die Werte bei $30°$ , $45°$ und $60°$ ; alles andere folgt aus der Symmetrie.
Zähle in Vielfachen von $\frac{\pi}{6}$ und $\frac{\pi}{4}$ , um Winkel im Bogenmaß schnell einzuordnen.
Mache bei Bedarf den Nenner rational: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Prüfe Ergebnisse mit $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Nutze den Rechner für trigonometrische Identitäten, um Beziehungen zwischen diesen Funktionen zu beweisen.

Häufige Fragen

Welche Koordinaten hat ein Punkt auf dem Einheitskreis?

Für einen Winkel θ ist der Punkt (cos θ, sin θ). Die x-Koordinate ist der Kosinus und die y-Koordinate der Sinus.

Wie bestimmt man den Bezugswinkel?

Reduziere den Winkel auf einen Wert zwischen 0° und 360° und miss den spitzen Winkel zur x-Achse: θ im ersten Quadranten, 180° − θ im zweiten, θ − 180° im dritten und 360° − θ im vierten.

Kann ich Winkel im Bogenmaß eingeben?

Ja. Wähle Bogenmaß und schreibe Ausdrücke wie pi/3 oder 5pi/4. Der Rechner rechnet das Bogenmaß in den Schritten in Grad um.

Warum ist tan 90° nicht definiert?

Der Tangens ist Sinus geteilt durch Kosinus, und cos 90° = 0. Die Division durch null ist nicht definiert, also haben tan 90° und sec 90° keinen Wert.

Akzeptiert der Rechner negative Winkel und Winkel über 360°?

Ja. Er reduziert sie auf einen gleichwertigen Winkel innerhalb einer Umdrehung. So wird 765° auf 45° reduziert und −30° als 330° behandelt.

Was ist mit Winkeln, die keine besonderen Winkel sind?

Für Winkel wie 20° gibt es keine einfache exakte Form: Der Rechner zeigt Dezimalwerte und erklärt trotzdem Quadrant und Bezugswinkel.

Welche trigonometrischen Funktionen sind in welchem Quadranten positiv?

Im ersten Quadranten sind alle positiv; im zweiten Sinus und Kosekans; im dritten Tangens und Kotangens; im vierten Kosinus und Sekans.

Wie merke ich mir die Vorzeichen der Quadranten?

Gehe die Quadranten gegen den Uhrzeigersinn ab dem ersten durch: Im ersten sind alle Funktionen positiv, im zweiten der Sinus, im dritten der Tangens, im vierten der Kosinus. Der Rechner nennt diese Regel im Quadrantenschritt, damit du jedes Vorzeichen seinem Quadranten zuordnen kannst.

Probiere den Einheitskreis-Rechner aus

Gib einen Winkel ein und erhalte seinen Punkt, die exakten trigonometrischen Werte und den Bezugswinkel.

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