Trigonometrische Identitäten und Formeln: die wichtigste Liste und wie man sie nutzt

Identitäten und Gleichungen

Die Gleichung $\sin x = \frac{1}{2}$ gilt nur für bestimmte Winkel: Sie ist eine Gleichung, die man löst. Die Gleichung $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ gilt für jeden Winkel: Sie ist eine Identität, ein Werkzeug, das man benutzt. Identitäten dienen dazu, einen Term in eine praktischere Form umzuschreiben, ohne seinen Wert zu ändern.

Eine vermutete Identität lässt sich immer numerisch testen. Scheitert sie an einem einzigen Winkel, ist sie keine Identität. Gilt sie für mehrere voneinander unabhängige Winkel, ist sie wahrscheinlich richtig, aber Gewissheit bringt erst ein Beweis. Dieser numerische Reflex fängt viele Vorzeichenfehler ab und lohnt sich beim Lernen sehr.

Die Grundbeziehungen

Die Kehrwert- und Quotientenbeziehungen definieren die übrigen vier Funktionen über Sinus und Kosinus:

Der trigonometrische Pythagoras folgt aus der Gleichung des Einheitskreises, $x^2 + y^2 = 1$, mit $x = \cos\theta$ und $y = \sin\theta$. Teilt man ihn durch $\cos^2 x$ oder durch $\sin^2 x$, erhält man zwei weitere Fassungen:

Die Symmetrie des Einheitskreises liefert die Symmetrieformeln $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$ und $\tan(-x) = -\tan x$ sowie die Formeln für Komplementwinkel wie $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Letztere erklären die Namen: Der Kosinus ist der Sinus des Komplementwinkels. Die Anleitung zum Einheitskreis zeigt, woher jede dieser Formeln kommt.

Additionstheoreme

Diese Formeln drücken die trigonometrischen Werte einer Summe oder Differenz von Winkeln durch die Werte der einzelnen Winkel aus. Aus ihnen folgen fast alle anderen Formeln.

Achte auf den Vorzeichenwechsel in der Kosinusformel: Der Kosinus einer Summe hat ein Minuszeichen. Ein klassischer Fehler ist die Annahme $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$. Ein Test mit $A = B = \frac{\pi}{2}$ zeigt, dass das falsch ist: Die linke Seite ist $\sin\pi = 0$, die rechte aber 2.

Ebenso ist $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$.

Doppelwinkelformeln und Potenzreduktion

Setzt man in den Additionstheoremen $B = A$, erhält man die Doppelwinkelformeln. Für den Kosinus gibt es drei gleichwertige Formen, die man durch Ersetzen von $\sin^2$ oder $\cos^2$ mithilfe des trigonometrischen Pythagoras erhält.

Stellt man die beiden letzten Formen nach den Quadraten um, erhält man die Formeln zur Potenzreduktion, die Quadrate in lineare Ausdrücke im doppelten Winkel verwandeln. In der Analysis sind sie unverzichtbar, weil sich $\sin^2 x$ nur schwer direkt integrieren lässt.

Zum Beispiel ist $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Ersetzt man in diesen Formeln $x$ durch $\frac{x}{2}$, erhält man die Halbwinkelformeln, etwa $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Wie man eine Identität beweist

Eine Identität zu beweisen heißt, eine Seite Schritt für Schritt umzuformen, bis man bei der anderen ankommt. Behandle sie nicht wie eine Gleichung, indem du auf beiden Seiten dasselbe tust: Damit setzt du voraus, was du beweisen willst. Diese Strategien funktionieren in den meisten Fällen:

1. Beginne mit der komplizierteren Seite: Dort gibt es mehr zu vereinfachen.
2. Schreibe alles mit Sinus und Kosinus.
3. Suche nach Mustern des trigonometrischen Pythagoras wie $1 - \cos^2 x$ und ersetze sie.
4. Bringe Brüche auf einen gemeinsamen Nenner oder zerlege einen Bruch in zwei.
5. Klammere aus oder erweitere mit einem konjugierten Ausdruck wie $1 + \sin x$, wenn im Nenner eine Summe steht.
6. Behalte die Zielseite stets im Blick, damit dich jeder Schritt ihr näherbringt.

Eine kürzere Identität verbindet zwei Formelfamilien: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.

Identitäten zum Lösen von Gleichungen nutzen

Identitäten verwandeln eine trigonometrische Gleichung oft in eine quadratische Gleichung in einer einzigen Funktion. Löse diese Gleichung und bestimme dann mit dem Einheitskreis alle Winkel.

Teile nicht beide Seiten durch eine trigonometrische Funktion wie $\sin x$: Du kannst dabei die Lösungen verlieren, bei denen sie null wird. Bringe alles auf eine Seite und faktorisiere.

Das Faktorisieren läuft genauso wie bei gewöhnlichen quadratischen Gleichungen; lies wie man quadratische Gleichungen löst, wenn du das wiederholen möchtest.

Welche Formeln man auswendig lernen sollte

Du musst nicht jede Formel einzeln auswendig lernen. Merke dir den trigonometrischen Pythagoras, die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus und die Definitionen der übrigen vier Funktionen. Alles andere lässt sich in ein bis zwei Zeilen herleiten: die Doppelwinkelformeln aus den Additionstheoremen mit $B = A$; die anderen Fassungen des trigonometrischen Pythagoras durch Division; die Potenzreduktion durch Umstellen der Doppelwinkelformel des Kosinus nach dem Quadrat; und die Subtraktionsformeln aus den Additionstheoremen zusammen mit den Symmetrieformeln.

Unter Prüfungsdruck ist es zuverlässiger, eine Formel herleiten zu können, als sich an sie zu erinnern, weil man unterwegs kontrollieren kann. Außerdem darf man in vielen Prüfungen eine Formelsammlung benutzen: Die eigentlich geprüfte Fähigkeit ist die Wahl der richtigen Formel, und die erwirbt man nur durch Üben an vielfältigen Aufgaben.

Häufige Fehler

• $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ oder $\sin 2x = 2\sin x$ schreiben.
• Das Vorzeichen in $\cos(A + B)$ falsch setzen, das ein Minuszeichen hat.
• $\sin^2 x$, also $(\sin x)^2$, mit $\sin(x^2)$ verwechseln.
• An beiden Seiten einer Identität gleichzeitig arbeiten, als wäre sie eine Gleichung.
• Eine Gleichung durch eine trigonometrische Funktion teilen und Lösungen verlieren.

Der Rechner für trigonometrische Identitäten prüft, ob zwei Terme identisch sind, und schlägt einen Vereinfachungsweg vor: eine gute Möglichkeit, deine eigenen Beweise zu testen.

Wo Identitäten wieder auftauchen

Trigonometrische Identitäten sind nicht nur eine Übung im Trigonometrie-Kapitel. In der Analysis folgt die Ableitung des Sinus aus dem Additionstheorem und zwei Grenzwerten, Integrale von Potenzen von Sinus und Kosinus beruhen auf der Potenzreduktion, und die trigonometrische Substitution nutzt $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, um Wurzeln wie $\sqrt{1 + x^2}$ zu beseitigen.

In Physik und Technik ist die Summe zweier Wellen gleicher Frequenz wieder eine Welle derselben Frequenz, und das Additionstheorem zeigt genau, wie. Schreibt man $a\sin x + b\cos x$ in der Form $R\sin(x + \varphi)$ mit $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, erhält man sofort die Amplitude der resultierenden Welle. Zum Beispiel hat $3\sin x + 4\cos x$ die Amplitude 5: Der Maximalwert ist 5 und der Minimalwert $-5$. Multipliziert man $5\sin(x + \varphi)$ mit dem Additionstheorem aus und vergleicht die Koeffizienten, erhält man $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ und $\sin\varphi = \frac{4}{5}$.

Signalverarbeitung, Drehungen in der Computergrafik und die Sätze zum Lösen von Dreiecken stützen sich auf dieselbe kleine Formelsammlung; deshalb zahlt es sich jahrelang aus, sie zu beherrschen, lange nach dem Ende des Trigonometrie-Kapitels.

Häufige Fragen