Der Einheitskreis: Bogenmaß, Bezugswinkel und exakte Werte

Was ist der Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung, mit der Gleichung $x^2 + y^2 = 1$. Winkel werden von der positiven x-Achse aus gemessen: gegen den Uhrzeigersinn für positive Winkel und im Uhrzeigersinn für negative Winkel. Der Schenkel, an dem der Winkel beginnt, heißt Anfangsschenkel, der, an dem er endet, Endschenkel.

Für jeden Winkel $\theta$ schneidet der Endschenkel den Kreis in genau einem Punkt. Die Definition, die den Einheitskreis so nützlich macht, lautet: Dieser Punkt hat die Koordinaten $(\cos\theta, \sin\theta)$. Der Tangens ist der Quotient der beiden:

Für spitze Winkel stimmt das mit den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck überein, die du vielleicht schon kennst. Fälle das Lot vom Punkt auf die x-Achse: Du erhältst ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1, der Ankathete $x$ und der Gegenkathete $y$. Also ist $\cos\theta = \frac{x}{1}$ und $\sin\theta = \frac{y}{1}$. Der Einheitskreis erweitert diese Definitionen auf alle Winkel, auch stumpfe, negative oder sehr große.

Gradmaß und Bogenmaß

Eine volle Umdrehung misst $360^\circ$, also $2\pi$ im Bogenmaß. Ein Radiant ist der Winkel, der einen Bogen von der Länge des Radius ausschneidet. Am Einheitskreis, dessen Radius 1 ist, ist das Bogenmaß eines Winkels genau die Länge des zugehörigen Bogens; deshalb ist das Bogenmaß die natürliche Einheit in der Analysis.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• Im Gradmaß ist $\frac{7\pi}{4}$ im Bogenmaß $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Ein Radiant entspricht etwa $57.3^\circ$.

Die besonderen Winkel im ersten Quadranten

Drei Winkel haben exakte Werte, die von zwei bekannten Dreiecken stammen. Der Winkel $45^\circ$ kommt aus einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse 1, dessen beide Katheten $\frac{\sqrt{2}}{2}$ lang sind. Die Winkel $30^\circ$ und $60^\circ$ kommen aus der Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 1, dessen Katheten $\frac{1}{2}$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ lang sind.

• $0$: Punkt $(1, 0)$, also $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: Punkt $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, also $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: Punkt $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, also $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: Punkt $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, also $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: Punkt $(0, 1)$, also $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, und $\tan\frac{\pi}{2}$ ist nicht definiert.

Ein Muster hilft beim Merken: Die Sinuswerte von $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ sind $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$, und die Kosinuswerte sind dieselbe Liste in umgekehrter Reihenfolge. Außerdem erfüllen alle Punkte $x^2 + y^2 = 1$; zum Beispiel ist $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Zurückführen auf den ersten Quadranten

Die üblichen sechzehn Punkte musst du nicht einzeln auswendig lernen. Jeder Winkel hat einen Bezugswinkel: den spitzen Winkel, den der Endschenkel mit der x-Achse bildet. Die Koordinaten des Winkels haben denselben Betrag wie die des Bezugswinkels; nur die Vorzeichen ändern sich je nach Quadrant.

• Quadrant I (von $0$ bis $\frac{\pi}{2}$): $x$ und $y$ positiv, also sind alle drei Funktionen positiv.
• Quadrant II (von $\frac{\pi}{2}$ bis $\pi$): $x$ negativ, $y$ positiv, also ist nur der Sinus positiv.
• Quadrant III (von $\pi$ bis $\frac{3\pi}{2}$): beide negativ, also ist nur der Tangens positiv.
• Quadrant IV (von $\frac{3\pi}{2}$ bis $2\pi$): $x$ positiv, $y$ negativ, also ist nur der Kosinus positiv.

Ebenso hat $\frac{3\pi}{4}$ den Bezugswinkel $\frac{\pi}{4}$ in Quadrant II, was den Punkt $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ und $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$ ergibt.

Negative Winkel und Winkel über eine Umdrehung

Addiert oder subtrahiert man eine volle Umdrehung, $2\pi$, landet man beim selben Punkt: Sinus und Kosinus wiederholen sich also alle $2\pi$. Um einen großen Winkel zu berechnen, ziehe Vielfache von $2\pi$ ab, bis du einen Winkel zwischen 0 und $2\pi$ erhältst; bei einem negativen Winkel addiere Vielfache von $2\pi$. Winkel mit demselben Endschenkel liefern dieselben Werte.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$: gehört zum selben Punkt wie $\frac{\pi}{4}$, also $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ gehört zum selben Punkt wie $\frac{11\pi}{6}$, also $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, also $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

Die Symmetrie zur x-Achse liefert zwei weitere Regeln: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, der Kosinus ist also eine gerade Funktion, und $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, der Sinus ist also ungerade. Der Tangens hat eine kürzere Periode, $\pi$, weil die Punkte zu $\theta$ und $\theta + \pi$ einander diametral gegenüberliegen und denselben Quotienten $\frac{y}{x}$ liefern.

Der trigonometrische Pythagoras und die übrigen Werte

Da alle Punkte auf dem Kreis $x^2 + y^2 = 1$ erfüllen, erfüllen alle Winkel die wichtigste Beziehung der Trigonometrie:

Der Quadrant entscheidet über das Vorzeichen; die Beziehung allein liefert nur den Betrag. Die Anleitung zu den trigonometrischen Identitäten leitet daraus viele weitere Identitäten her.

Einfache trigonometrische Gleichungen am Kreis lösen

Um eine Gleichung wie $\sin\theta = \frac{1}{2}$ mit $0 \le \theta < 2\pi$ zu lösen, suche alle Punkte des Kreises mit der y-Koordinate $\frac{1}{2}$. Es sind zwei: einer in Quadrant I bei $\frac{\pi}{6}$ und einer in Quadrant II bei $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ebenso verlangt $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Punkte mit der x-Koordinate $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, die bei $\frac{3\pi}{4}$ in Quadrant II und bei $\frac{5\pi}{4}$ in Quadrant III liegen. Sind alle Lösungen gefragt, addiere $2\pi k$ für jede ganze Zahl $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ oder $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Die Taste für Arkussinus oder Arkuskosinus am Taschenrechner liefert nur eine einzige Antwort. Der Einheitskreis zeigt, wo die zweite Lösung liegt, was der Taschenrechner nie tut.

Wie man effizient lernt

Sechzehn Punkte als einzelne Fakten auswendig zu lernen ist mühsam und unzuverlässig. Besser beherrschst du drei Dinge gründlich: die drei Punkte im ersten Quadranten für $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ und $\frac{\pi}{3}$; das Bestimmen eines Bezugswinkels; und die Vorzeichen in jedem Quadranten. Damit erledigst du jeden besonderen Winkel in Sekunden.

Übe eine Woche lang einmal täglich, den Kreis aus dem Gedächtnis zu zeichnen und die Winkel in Grad und im Bogenmaß einzutragen. Teste dich danach mit zufälligen Winkeln, auch negativen oder größeren als $2\pi$. Der Einheitskreis-Rechner liefert die exakten Werte und den Bezugswinkel für jede Eingabe: So prüfst du deine Antworten sofort. Spätere Themen wie der Sinussatz und die Analysis mit trigonometrischen Funktionen setzen diese Sicherheit voraus.

Häufige Fehler

• Die Koordinaten vertauschen: Die x-Koordinate ist der Kosinus, die y-Koordinate der Sinus.
• Den Taschenrechner im Gradmodus für eine Aufgabe im Bogenmaß verwenden, oder umgekehrt.
• Den Bezugswinkel von der y-Achse statt von der x-Achse aus messen.
• Für eine Gleichung wie $\sin\theta = \frac{1}{2}$ nur eine Lösung angeben.
• Vergessen, dass der Tangens dort nicht definiert ist, wo der Kosinus null wird, also bei $\frac{\pi}{2}$ und bei $\frac{3\pi}{2}$.

Vom Einheitskreis zu den Graphen von Sinus und Kosinus

Stell dir einen Punkt vor, der mit konstanter Geschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis läuft. Seine Höhe über der x-Achse steigt im ersten Viertel der Umdrehung von 0 auf 1, ist nach einer halben Umdrehung wieder 0, sinkt nach drei Vierteln auf $-1$ und ist nach einer vollen Umdrehung wieder 0. Trägt man diese Höhe in Abhängigkeit vom Winkel auf, erhält man die bekannte Sinuskurve von $y = \sin x$. Trägt man die waagerechte Lage auf, erhält man $y = \cos x$, dieselbe Welle um eine Vierteldrehung nach links verschoben.

Alles über diese Graphen lässt sich am Kreis ablesen. Ihr Wertebereich ist $[-1, 1]$, weil die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis mit Radius 1 dem Betrag nach nie größer als 1 sind. Die Periode ist $2\pi$, weil eine volle Umdrehung den Punkt an seine Ausgangslage zurückbringt. Der Sinus wird bei den Vielfachen von $\pi$ null, wo der Punkt die x-Achse kreuzt, und der Kosinus bei den ungeraden Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$, wo er die y-Achse kreuzt. Diese Graphen als Aufzeichnung einer Kreisbewegung zu sehen, erklärt auch, warum trigonometrische Funktionen Gezeiten, Schallwellen, Wechselstrom und jedes Phänomen beschreiben, das sich in Zyklen wiederholt.

Häufige Fragen