Integralrechner

Eine Methode wählen

Es gibt keinen einzelnen, von Hand anwendbaren Algorithmus für alle Integrale: Die Kunst besteht darin, die Form zu erkennen. Beginne mit der Linearität: Zerlege Summen und ziehe Konstanten heraus, dann nutze die Tabelle der Grundintegrale für Potenzen, Exponentialfunktionen, $\frac1x$ und trigonometrische Funktionen. Ist ein Teil des Integranden die Ableitung eines anderen Teils, versuche eine Substitution. Ist er das Produkt zweier Funktionen unterschiedlicher Art, etwa ein Polynom und eine Exponentialfunktion oder ein Polynom und ein Sinus, versuche partielle Integration. Gebrochenrationale Funktionen verlangen eine Partialbruchzerlegung, und Formen wie $\frac{1}{x^2 + 1}$ führen auf die Arkusfunktionen.

Der Rechner probiert diese Methoden in ähnlicher Reihenfolge und nennt die, die zum Ziel geführt hat: Die Schritte helfen dir also auch, beim nächsten Mal die Methode zu wählen.

Substitution Schritt für Schritt

Die Substitution macht die Kettenregel rückgängig. In $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ ist die innere Funktion $x^2$, und ihre Ableitung $2x$ steht als Faktor da: Man setzt also $u = x^2$ und $du = 2x\,dx$. Das Integral wird zu $\int \cos u\,du = \sin u$, und nach der Rücksubstitution erhält man $\sin(x^2) + C$. Der Rechner zeigt jede dieser Zeilen. Taucht die Ableitung der inneren Funktion nur bis auf einen konstanten Faktor auf, wie bei $x\cos(x^2)$, funktioniert dieselbe Substitution nach einer Korrektur mit $\frac12$.

Partielle Integration und Tabellenverfahren

Die partielle Integration macht die Produktregel rückgängig: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Wähle als $u$ den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird, meist das Polynom, und als $dv$ den Faktor, der sich leicht integrieren lässt. Ist $u$ ein Polynom vom Grad $n$, wird es nach $n$ Wiederholungen zu null, und das Tabellenverfahren ordnet diese Wiederholungen in zwei Spalten. Deshalb endet das Beispiel nach zwei Zeilen: Die Ableitung von $x$ ist 1 und danach 0.

Bestimmte Integrale und Integrationsgrenzen

Fülle die untere und die obere Grenze aus, um die Aufgabe in ein bestimmtes Integral zu verwandeln. Der Rechner bestimmt zuerst eine Stammfunktion und wendet dann den Hauptsatz an: Für $\int_0^3 x^2\,dx$ verwendet er $F(x) = \frac{x^3}{3}$ und berechnet $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$. Die Grenzen dürfen Terme wie pi/2 sein. Brauchst du nur den Zahlenwert, funktioniert der Rechner für bestimmte Integrale auch dann, wenn es keine elementare Stammfunktion gibt, weil er die Fläche numerisch berechnet.

Wenn es keine elementare Stammfunktion gibt

Manche einfach aussehenden Funktionen, wie $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ und $\sqrt{1 + x^3}$, haben Stammfunktionen, die sich nicht als endliche Kombination von Polynomen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen schreiben lassen. Das ist ein bewiesenes Ergebnis und kein Versagen der Methode. Für solche Funktionen meldet der Rechner, dass er keine Stammfunktion gefunden hat, statt eine zu erfinden, und ein bestimmtes Integral über ein gegebenes Intervall lässt sich trotzdem numerisch berechnen.

So berechnet der Rechner für bestimmte Integrale numerisch $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ und weist darauf hin, dass das Ergebnis eine Näherung ist.

Warum die Integrationskonstante wichtig ist

Da die Ableitung jeder Konstanten null ist, haben $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ und $\frac{x^3}{3} - 2$ alle die Ableitung $x^2$. Ihre Graphen unterscheiden sich durch eine Verschiebung nach oben oder unten, und das $+ C$ beschreibt diese ganze Familie. Die Konstante ist festgelegt, sobald eine zusätzliche Information vorliegt, die Anfangsbedingung. Ist eine Geschwindigkeit $v(t) = 2t$ und der Ort zum Zeitpunkt 0 gleich 4, liefert Integrieren $s(t) = t^2 + C$, und $s(0) = 4$ erzwingt $C = 4$. Bei einem bestimmten Integral hebt sich die Konstante in $F(b) - F(a)$ weg und taucht deshalb nie in einem Zahlenergebnis auf.

Orientierte Fläche und Gesamtfläche

Ein bestimmtes Integral zählt Fläche oberhalb der x-Achse positiv und Fläche unterhalb negativ. Über eine volle Periode gilt $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$, obwohl die Kurve eine echt positive Fläche einschließt: Der Bogen über der Achse und das Tal darunter heben sich genau auf. Fragt eine Aufgabe nach der Gesamtfläche zwischen Kurve und Achse, bestimme die Vorzeichenwechsel der Funktion, integriere jedes Teilstück einzeln und addiere die Beträge. Für $\sin x$ auf $[0, 2\pi]$ ergibt sich $2 + 2 = 4$.

Dieselbe Unterscheidung gibt es bei Bewegungsaufgaben. Integriert man die Geschwindigkeit, erhält man die Verschiebung, also die Nettoänderung des Ortes, während das Integral über den Betrag der Geschwindigkeit die insgesamt zurückgelegte Strecke liefert.

So liest du die Schritte

Jeder Schritt zeigt eine Umformung des Integrals, mit der Regel oder der Tabellenzeile in der Überschrift und der Formel direkt darunter. Linearitätsschritte zerlegen die Aufgabe in kleinere Integrale, die einzeln gelöst und dann wieder zusammengesetzt werden: Eine lange Funktion erzeugt also eine längere Liste kurzer Schritte statt eines großen Sprungs. Bei einer Substitution zeigt die Zeile, die $u$ einführt, auch $du$, und genau dort sieht man, warum die Methode funktioniert. Der letzte Schritt addiert bei einem unbestimmten Integral immer die Integrationskonstante oder setzt bei einem bestimmten Integral die Grenzen ein.