Taylorreihen-Rechner

Woher die Koeffizienten kommen

Angenommen, ein Polynom $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ soll in $a$ mit $f$ übereinstimmen. Setzt man $x = a$, verschwinden alle Terme außer $c_0$, also $c_0 = f(a)$. Einmal ableiten und $x = a$ setzen lässt $c_1 = f'(a)$ übrig. Zweimal ableiten lässt $2c_2 = f''(a)$ übrig, und allgemein gilt $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

Das ist schon der ganze Beweis, und er erklärt die Fakultäten: Sie gleichen die Konstanten aus, die sich ansammeln, wenn man $(x - a)^k$ insgesamt $k$-mal ableitet. Der Rechner zeigt das als Tabelle von $f^{(k)}(a)$ und $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ für jedes $k$, dieselbe Tabelle, die du von Hand aufstellen würdest.

Die Muster der häufigsten Reihen

Für $\sin x$ um 0 durchlaufen die Ableitungen den Zyklus $\sin, \cos, -\sin, -\cos$, der bei 0 die Werte $0, 1, 0, -1$ annimmt. Alle Koeffizienten der geraden Potenzen sind null, und das Polynom vom Grad 7 ist $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. Der Kosinus liefert dagegen die geraden Potenzen: Bis zum Grad 4 ist er $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Für $\ln x$ um 1 ist die $k$-te Ableitung $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$: Die Koeffizienten sind also $\pm\frac1k$, und die Reihe lautet $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. Wer diese Muster erkennt, kann viele Reihen ohne eine einzige Ableitung aufschreiben und in ihnen substituieren, etwa $x$ in der Reihe von $e^x$ durch $-x^2$ ersetzen.

Wie genau ist die Näherung?

Die Taylorformel beschränkt den Fehler. Das Restglied $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ ist gleich $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ für ein $c$ zwischen $a$ und $x$. Zwei Dinge halten es klein: die Nähe zum Entwicklungspunkt, damit $(x - a)^{n+1}$ winzig ist, und die Fakultät im Nenner, die irgendwann jede Potenz überholt.

Das Wurzelbeispiel zeigt den ersten Effekt. Das Polynom vom Grad 3 von $\sqrt{x}$ um 4 ist $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. Bei $x = 4.1$ liefert es etwa 2.024845703 gegenüber dem exakten Wert 2.024845673, also einen Fehler von ungefähr $3\times10^{-8}$, weil $0.1^4$ bereits sehr klein ist.

Weit weg vom Entwicklungspunkt sieht es anders aus. Für $\frac{1}{1-x}$ nähern die Polynome bei $x = 0.1$ gut, sind aber bei $x = 2$ nutzlos, weil die Reihe nur für $|x| < 1$ konvergiert. Bei $x = 2$ liefert das Polynom vom Grad 5 den Wert 63, während die Funktion $-1$ ist, ein Fehler von 64, der mit jedem zusätzlichen Term wächst. Die Fehlerangabe des Rechners macht das sichtbar: Probiere dieselbe Funktion mit demselben Grad an einem nahen und an einem fernen Punkt aus und vergleiche.

Den Entwicklungspunkt wählen

Wähle einen Entwicklungspunkt, an dem sich die Funktion und ihre Ableitungen leicht berechnen lassen und der nahe an der Stelle liegt, an der du die Näherung brauchst. $\sqrt{x}$ um 4 zu entwickeln liegt nahe, weil $\sqrt4 = 2$ exakt ist. $\ln x$ um 0 zu entwickeln ist unmöglich, weil die Funktion dort nicht definiert ist, und $|x|$ um 0 zu entwickeln scheitert, weil sie dort nicht differenzierbar ist; der Rechner erklärt diese Fälle, statt ein sinnloses Polynom auszugeben.

Taylorpolynome in der Praxis

Die Kleinwinkelnäherung $\sin\theta \approx \theta$ ist einfach das Maclaurin-Polynom vom Grad 1 des Sinus, und ihr Fehler bleibt für Winkel unter etwa 14 Grad unter 1 %. Die Formel für die Schwingungsdauer des Pendels, die paraxiale Näherung der Optik und das hookesche Gesetz für Federn entstehen alle, indem man nur den ersten oder die ersten beiden Terme einer Taylorentwicklung behält.

Taylorpolynome machen auch schwierige Aufgaben leicht. Ein Grenzwert wie $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ wird offensichtlich, sobald man $\cos x$ durch $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ ersetzt, und ein Integral ohne elementare Stammfunktion wie $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ lässt sich nähern, indem man ein Polynom gliedweise integriert.