Taylorreihen: Funktionen durch Polynome annähern

Die Idee: die Ableitungen übereinstimmen lassen

Polynome sind die am einfachsten zu handhabenden Funktionen. Man kann sie allein mit Additionen und Multiplikationen berechnen, und sie abzuleiten oder zu integrieren ist Routine. Funktionen wie $e^x$, $\sin x$ und $\ln x$ sind von Hand viel schwerer zu berechnen. Die Idee einer Taylorreihe ist, ein Polynom zu finden, das sich in der Nähe einer gewählten Stelle $a$ wie die Funktion verhält.

Die Gerade, die sich einer Kurve in einem Punkt am besten anschmiegt, ist die Tangente, die dort denselben Wert und dieselbe erste Ableitung wie die Funktion hat. Eine Parabel kann zusätzlich dieselbe zweite Ableitung haben und folgt so der Krümmung des Graphen. Eine kubische Funktion kann auch noch dieselbe dritte Ableitung haben, und so weiter. Jede weitere übereinstimmende Ableitung lässt das Polynom in einem größeren Bereich um den Punkt an der Funktion kleben. Setzt man das unbegrenzt fort, erhält man die Taylorreihe.

Die Formel der Taylorreihe

Verlangt man, dass die $n$-te Ableitung des Polynoms an der Stelle $a$ gleich $f^{(n)}(a)$ ist, muss der Koeffizient von $(x - a)^n$ gleich $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ sein. Die Fakultät taucht auf, weil $(x - a)^n$ insgesamt $n$-mal abgeleitet $n!$ ergibt. Die vollständige Reihe lautet:

Für $a = 0$ heißt die Reihe Maclaurin-Reihe, und die Potenzen sind einfach $x^n$. Das Polynom aus den Gliedern bis $(x - a)^n$ ist das Taylorpolynom vom Grad $n$, geschrieben $P_n(x)$. Die ersten beiden Glieder allein bilden die Tangentennäherung, auch Linearisierung genannt.

Die Reihe der Exponentialfunktion aufbauen

Setzt man $x = 1$, erhält man eine berühmte Formel für die Konstante selbst: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, die nach einem Dutzend Gliedern 2,71828 erreicht, weil die Fakultäten sehr schnell wachsen.

Die Entwicklungen, die man kennen sollte

Diese Maclaurin-Reihen tauchen ständig auf, und fast alle anderen lassen sich durch Einsetzen, Multiplizieren, Ableiten oder Integrieren aus ihnen gewinnen:

Der Sinus hat nur ungerade Potenzen, was dazu passt, dass er eine ungerade Funktion ist, und der Kosinus hat nur gerade Potenzen, passend zu seiner Symmetrie. Leitet man die Sinusreihe gliedweise ab, erhält man die Kosinusreihe, genau so, wie die Ableitung von $\sin x$ gleich $\cos x$ sein muss.

Zur Kontrolle: $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, während der exakte Wert $0.0998334$ ist. Zwei Glieder liefern schon sechs korrekte Nachkommastellen: Deshalb können Taschenrechner trigonometrische Funktionen mit kurzen Polynomen so schnell auswerten.

Um eine Stelle ungleich null entwickeln

Wählt man $a$ nahe dem gesuchten Wert, konvergiert die Näherung viel schneller. Um $\sqrt{4.1}$ zu schätzen, entwickelst du $\sqrt{x}$ um $a = 4$, wo die Quadratwurzel sofort bekannt ist.

Wie groß ist der Fehler?

Der Satz von Taylor liefert den Fehler eines Taylorpolynoms. Gilt $|f^{(n+1)}| \le M$ zwischen $a$ und $x$, dann erfüllt das Restglied nach dem Glied vom Grad $n$:

Für $e^{0.5}$ mit $n = 3$ ist die vierte Ableitung $e^t \le e^{0.5} < 2$ auf dem Intervall, der Fehler beträgt also höchstens $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. Der tatsächliche Fehler, $0.0029$, hält diese Schranke ein. Sie funktioniert auch umgekehrt: Sie sagt, wie viele Glieder nötig sind, um eine vorgegebene Genauigkeit zu garantieren, noch bevor man zu rechnen beginnt.

Für alternierende Reihen wie die von Sinus und Kosinus gibt es eine noch einfachere Abschätzung: Der Fehler ist nicht größer als das erste weggelassene Glied. Die Ideen hinter dieser Regel behandelt Konvergenzkriterien für Reihen.

Wo die Reihe konvergiert

Eine Taylorreihe stimmt nicht immer überall mit ihrer Funktion überein. Die geometrische Reihe für $\frac{1}{1 - x}$ funktioniert nur für $|x| < 1$; bei $x = 2$ hat die linke Seite den Wert $-1$, während die Glieder der Reihe über alle Grenzen wachsen. Die Menge der $x$-Werte, für die eine Reihe konvergiert, ist ein Intervall um $a$, und seine halbe Breite ist der Konvergenzradius. Meist bestimmt man ihn mit dem Quotientenkriterium.

Die Reihen von $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ konvergieren für alle reellen $x$. Die Reihe von $\ln(1 + x)$ konvergiert für $-1 < x \le 1$; bei $x = 1$ liefert sie das überraschende Ergebnis $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, auch wenn sie sehr langsam konvergiert.

Wofür man Taylorreihen braucht

• Funktionen berechnen: Taschenrechner und Software verwenden Polynomnäherungen, die Taylorpolynomen sehr ähnlich sind.
• Grenzwerte: Ersetzt man $\sin x$ durch $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$, sieht man, dass $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ gilt, ohne die Regel von L'Hospital zu verwenden.
• Integrale ohne elementare Stammfunktion: Gliedweises Integrieren der Reihe von $e^{-x^2}$ ergibt $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, sehr nahe am exakten Wert $0.7468$.
• Physik: Die Kleinwinkelnäherung $\sin\theta \approx \theta$ beim Pendel ist das erste Glied der Sinusreihe.
• Die eulersche Formel $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, die man durch Vergleich der drei Reihen erhält.

Der Taylorreihen-Rechner entwickelt jede Funktion bis zur gewünschten Ordnung um jede Stelle und zeigt jede Ableitung. Ableiten zu können ist hier unverzichtbar, daher sind die Ableitungsregeln erklärt eine gute Ergänzung.

Das Vorgehen für jedes Taylorpolynom

1. Wähle die Entwicklungsstelle $a$: einen Punkt nahe der Stelle, an der du Werte brauchst, an dem die Funktion und ihre Ableitungen leicht zu berechnen sind.
2. Leite die Funktion so oft ab, wie es der gewünschte Grad verlangt, und vereinfache jede Ableitung.
3. Werte jede Ableitung an der Stelle $a$ aus.
4. Teile den Wert der $n$-ten Ordnung durch $n!$, um jeden Koeffizienten zu erhalten.
5. Schreibe das Polynom mit Potenzen von $(x - a)$ und nicht von $x$, außer wenn $a = 0$ ist.
6. Prüfe den ersten Koeffizienten: $P_n(a)$ muss gleich $f(a)$ sein, und die Steigung von $P_n$ bei $a$ muss gleich $f'(a)$ sein.

Oft ist es schneller, eine neue Reihe aus einer bekannten aufzubauen, als mehrfach abzuleiten. Ersetzt man zum Beispiel in der Reihe von $e^x$ das $x$ durch $-x^2$, erhält man direkt $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, und multipliziert man die Sinusreihe mit $x$, erhält man die von $x\sin x$.

Die Näherungen im Graphen sichtbar machen

Zeichne $\cos x$ zusammen mit seinen Taylorpolynomen vom Grad 2, 4 und 6, und es zeigt sich ein klares Muster. Das Polynom vom Grad 2, eine nach unten geöffnete Parabel, folgt der Kosinuskurve nahe null gut, entfernt sich aber nach etwa einer Einheit von ihr. Das vom Grad 4 bleibt länger nahe dran, und das vom Grad 6 folgt der Kurve fast über ihre ganze erste Welle. Jedes Polynom läuft schließlich ins Unendliche, weil kein Polynom ewig schwingen kann, aber je mehr Glieder man hinzunimmt, desto weiter draußen geschieht dieses Abdriften: Genau das bedeutet die Konvergenz der Reihe in der Praxis.

Dieses Bild ist der beste Weg, Intuition aufzubauen: Die Näherung ist nahe der Entwicklungsstelle hervorragend und wird mit der Entfernung schlechter. Der Funktionsplotter kann eine Funktion zusammen mit mehreren ihrer Taylorpolynome zeichnen, damit du siehst, wie sie konvergieren.

Häufige Fragen