Die Analysis untersucht Änderung und Aufsummierung. Diese Anleitungen erklären Grenzwerte, Ableitungen, Integrale und Reihen mit Rechenbeispielen und der Überlegung, die jede Regel trägt.
Jedes Thema der Analysis baut auf dem vorigen auf. Grenzwerte definieren die Ableitung, Ableitungen liefern die Regeln für Änderungsraten, Integrale kehren das Ableiten um und messen die aufsummierte Fläche, und Reihen nähern Funktionen durch Polynome an. Die Anleitungen in diesem Bereich folgen diesem Weg.
Neben den Regeln findest du ihre Begründungen, vollständig gelöste Beispiele und die Kontrollen, die die meisten Fehler aufdecken: eine Stammfunktion ableiten, um sie zu bestätigen, oder ein Taylor-Polynom an einer nahen Stelle mit der Funktion vergleichen. Die Rechner für Ableitungen, Integrale, Grenzwerte und Reihen zeigen denselben Lösungsweg Schritt für Schritt.
Die Analysis belohnt auch eine sorgfältige Schreibweise. vor das zu Ableitende schreiben, das bei jeder Stammfunktion behalten und das Intervall jeder Reihe angeben sind kleine Gewohnheiten, die die meisten Punktabzüge verhindern, und die Rechenbeispiele üben sie alle.
Fängst du gerade an, lies zuerst die Anleitung zu Grenzwerten und dann die, die erklären, was eine Ableitung ist und welche Ableitungsregeln es gibt, bevor du zu Integralen und Reihen übergehst.
Analysis
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihre Variable sich einer Zahl nähert, ganz gleich, ob die Funktion diesen Wert erreicht oder nicht. Grenzwerte sind die Grundlage von Ableitungen, Integralen und Reihen: Sie sicher zu berechnen ist die erste echte Fähigkeit der Analysis.
Analysis
Die Ableitung einer Funktion misst, wie schnell sich ihr Wert ändert, wenn sich die Variable ändert, und zwar in einem bestimmten Moment. Grafisch ist sie die Steigung der Tangente; algebraisch ist sie der Grenzwert der mittleren Änderungsraten über immer kleinere Intervalle.
Analysis
Ableitungen über die Grenzwertdefinition zu berechnen ist mühsam. Eine kleine Zahl von Regeln, jede ein einziges Mal aus dieser Definition bewiesen, erlaubt es, fast jede Formel in wenigen Zeilen abzuleiten. Dieser Leitfaden stellt jede Regel vor, erklärt, warum sie funktioniert, und zeigt, wie man sie kombiniert.
Analysis
Ein Integral summiert unendlich viele winzige Teile zu einer Gesamtgröße: einer Fläche, einer Strecke, einem Volumen oder jeder anderen angesammelten Größe. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verbindet dieses Summieren mit Stammfunktionen, und genau das macht Integrale in der Praxis berechenbar.
Analysis
Ein unbestimmtes Integral ist eine Familie von Funktionen, den Stammfunktionen, geschrieben mit einer Konstanten $+ C$. Ein bestimmtes Integral hat Integrationsgrenzen und liefert eine einzige Zahl, einen orientierten Flächeninhalt oder eine angesammelte Gesamtgröße. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung erlaubt es, das zweite mithilfe des ersten zu berechnen.
Analysis
Implizites Differenzieren liefert dy/dx für Kurven, die durch eine Gleichung in x und y gegeben sind, ohne y vorher freizustellen. Man leitet beide Seiten nach x ab, behandelt y als Funktion von x, um die Kettenregel anzuwenden, und stellt zum Schluss nach dy/dx um.
Analysis
Eine Taylorreihe schreibt eine Funktion als unendliches Polynom, das aus ihren Ableitungen an einer einzigen Stelle aufgebaut ist. Bricht man die Reihe nach einigen Gliedern ab, erhält man ein Taylorpolynom, eine leicht berechenbare Näherung, deren Fehler sich abschätzen lässt.
Analysis
Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl streben. Statt diese Zahl zu berechnen, entscheiden Konvergenzkriterien, ob sie existiert, und jedes passt zu einer bestimmten Form der Reihenglieder. Die eigentliche Fähigkeit besteht darin, zu erkennen, welches Kriterium zu welcher Reihe passt.