Was ist ein Integral? Eine Erklärung für Einsteiger

Integrieren heißt summieren

Fährt ein Auto 2 Stunden lang mit der konstanten Geschwindigkeit von 60 km pro Stunde, legt es $60 \times 2 = 120$ km zurück. In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ist diese Strecke die Fläche eines Rechtecks mit der Höhe 60 und der Breite 2. Ändert sich die Geschwindigkeit, ist die Fläche unter der Kurve kein Rechteck mehr, aber die Strecke ist weiterhin die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve. Diese Fläche zu bestimmen ist die Aufgabe eines Integrals.

Allgemeiner gilt: Immer wenn eine Größe eine Rate mal eine Menge ist, etwa Geschwindigkeit mal Zeit, Dichte mal Volumen oder Kraft mal Weg, und diese Rate sich ändert, ist die Gesamtgröße ein Integral. Die Ableitung zerlegt eine Gesamtgröße in Raten; das Integral setzt die Gesamtgröße aus den Raten wieder zusammen.

Riemann-Summen: mit Rechtecken annähern

Um die Fläche unter $f(x) = x^2$ von $x = 0$ bis $x = 2$ zu bestimmen, teile das Intervall in 4 Streifen der Breite $0.5$. Nimmst du als Höhe jeweils den rechten Rand jedes Streifens, erhältst du Rechtecke der Höhen $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$ und $f(2)$:

Mit den linken Rändern erhältst du $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$. Die tatsächliche Fläche liegt zwischen diesen beiden Werten. Wächst die Zahl der Streifen $n$, nähern sich beide Summen demselben Wert, und dieser Grenzwert ist das bestimmte Integral:

Das Integralzeichen ist ein langgezogenes S für „Summe“; $f(x)$ ist die Höhe, und $dx$ steht für die unendlich schmale Breite. Für $x^2$ auf $[0, 2]$ beträgt der Grenzwert genau $\frac{8}{3} \approx 2.667$. Der Grenzwertbegriff, erklärt in unserem Leitfaden zu Grenzwerten, macht aus einer Näherung einen exakten Wert.

Orientierter Flächeninhalt

Wo der Graph unterhalb der x-Achse verläuft, ist $f(x)$ negativ: Die Rechtecke tragen dann negativ bei. Das bestimmte Integral misst daher einen orientierten Flächeninhalt: die Fläche oberhalb der Achse minus die Fläche unterhalb.

Zum Beispiel ist $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, denn der Bogen oberhalb der Achse zwischen 0 und $\pi$ gleicht den Teil unterhalb zwischen $\pi$ und $2\pi$ genau aus. Jeder Bogen hat die Fläche 2, die geometrische Gesamtfläche ist also 4. Um die Gesamtfläche zu erhalten, teilst du das Intervall an den Nullstellen, an denen die Funktion ihr Vorzeichen wechselt, und addierst die Beträge der einzelnen Teile.

Stammfunktionen und unbestimmtes Integral

Eine Stammfunktion von $f$ ist eine Funktion $F$, deren Ableitung $f$ ist. Da $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$ gilt, ist $x^3$ eine Stammfunktion von $3x^2$. Ebenso $x^3 + 7$ oder $x^3$ plus irgendeine Konstante, denn die Ableitung einer Konstanten ist null. Das unbestimmte Integral fasst sie alle zusammen:

Jede grundlegende Ableitungsregel, rückwärts gelesen, liefert eine Integrationsregel:

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Die beiden Bedeutungen des Integrals, eine Fläche als Grenzwert von Summen und eine Familie von Stammfunktionen, verbindet der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Seine praktische Form besagt: Ist $F$ irgendeine Stammfunktion einer stetigen Funktion $f$, dann gilt:

Das ist bemerkenswert: Eine unendliche Summe von Rechtecken reduziert sich auf zwei Funktionswerte. Der andere Teil des Satzes besagt, dass die Integralfunktion $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ die Ableitung $f(x)$ hat: Integrieren und Ableiten heben sich gegenseitig auf.

Den Unterschied zwischen den beiden Arten von Integralen behandelt bestimmte und unbestimmte Integrale genauer.

Zwei Techniken über die Grundregeln hinaus

Beim Integrieren gibt es keine Produktregel und keine Kettenregel, die in allen Fällen mechanisch funktionieren: Einige Techniken kehren daher diese Ableitungsregeln um.

Anwendungen

• Weg aus der Geschwindigkeit: Ist $v(t) = 3t^2$ m/s, beträgt die Verschiebung in den ersten 2 Sekunden $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m.
• Fläche zwischen zwei Kurven: Zwischen $y = x$ und $y = x^2$ auf $[0, 1]$ beträgt die Fläche $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
• Mittelwert: Der Mittelwert von $f$ auf $[a, b]$ ist $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• Wahrscheinlichkeit: Flächen unter einer Dichtekurve sind Wahrscheinlichkeiten, etwa unter der Kurve der Normalverteilung, auf der die z-Werte beruhen.
• Volumen, die Arbeit einer veränderlichen Kraft, die Gesamtkosten aus den Grenzkosten und Schwerpunkte sind allesamt Integrale.

Häufige Fehler

• Das $+ C$ bei einem unbestimmten Integral vergessen.
• Die Potenzregel auf $\frac{1}{x}$ anwenden, was einer Division durch null entspräche; ihre Stammfunktion ist $\ln|x|$.
• Glauben, $\int f g\,dx$ sei gleich $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$.
• Ein bestimmtes Integral als Gesamtfläche deuten, obwohl ein Teil des Graphen unterhalb der Achse liegt.
• $F(a) - F(b)$ statt $F(b) - F(a)$ berechnen.

Der Integralrechner findet Stammfunktionen und zeigt jeden Schritt, und der Rechner für bestimmte Integrale wertet Integrale über einem Intervall aus und liefert den Zahlenwert.

Warum der Hauptsatz einleuchtet

Zurück zum Auto. Angenommen, $s(t)$ ist sein Ort und $v(t) = s'(t)$ seine Geschwindigkeit. Summiert man die Geschwindigkeit über winzige Zeitintervalle entlang der ganzen Fahrt, erhält man die gesamte Ortsänderung, also Endposition minus Anfangsposition. In Formeln: $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$, und das ist genau der Hauptsatz, mit $s$ in der Rolle der Stammfunktion.

So gesehen ist der Satz fast gesunder Menschenverstand: Summiert man alle kleinen Änderungen einer Größe, erhält man ihre Gesamtänderung. Seine Stärke liegt darin, dass er schwierige Grenzwertrechnungen in eine einfache Subtraktion verwandelt, sofern man eine Stammfunktion findet.

Numerische Integration

Lässt sich keine Stammfunktion angeben oder kennt man die Funktion nur aus Messungen, schätzt man Integrale numerisch. Die besten Schätzungen verwenden passendere Figuren als Rechtecke. Die Trapezregel bildet den Mittelwert aus linker und rechter Summe; für $x^2$ auf $[0, 2]$ mit 4 Streifen ergibt sie $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. Die Mittelpunktsregel nimmt die Höhe in der Mitte jedes Streifens und ergibt $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$. Beide kommen dem exakten Wert $2.667$ viel näher als jede der Randsummen.

Die Simpsonregel, die Parabeln durch Gruppen von drei Punkten legt, ist für diese Funktion und für jedes Polynom bis zum Grad drei exakt. Software verwendet verfeinerte Versionen dieser Ideen, um Integrale in Sekundenbruchteilen auf viele Nachkommastellen genau zu berechnen.

Ein wenig Geschichte

Flächen durch Summieren dünner Streifen zu berechnen ist eine alte Idee. Archimedes berechnete vor mehr als zweitausend Jahren die Fläche eines Parabelsegments mit einer Methode, die einem Grenzwert sehr nahekommt. Der große Durchbruch des siebzehnten Jahrhunderts, der Newton und Leibniz zugeschrieben wird, war der Hauptsatz, der zeigte, dass sich Flächen durch Umkehrung des Ableitens gewinnen lassen. Bernhard Riemann gab den Summen im neunzehnten Jahrhundert ihre moderne strenge Definition, daher ihr Name.

Häufige Fragen