Rechner für implizites Differenzieren

Über den Rechner für implizites Differenzieren

Viele Kurven lassen sich nicht bequem als $y = f(x)$ schreiben. Ein Kreis wie $x^2 + y^2 = 25$ besteht den Vertikalentest nicht, und eine Kurve wie das kartesische Blatt, $x^3 + y^3 = 6xy$ , hat keine handliche Formel für $y$ . Trotzdem existieren ihre Steigungen in fast jedem Punkt, und implizites Differenzieren ist die Technik, die sie berechnet, ohne vorher nach $y$ aufzulösen.

Dieser Rechner wendet das Verfahren so an, wie es im Unterricht gelehrt wird. Er behandelt $y$ als unbekannte Funktion von $x$ , leitet beide Seiten deiner Gleichung nach $x$ ab und hängt nach der Kettenregel an jeden Term, der $y$ enthält, einen Faktor $y'$ . Danach sammelt er die Terme mit $y'$ auf einer Seite, klammert $y'$ aus und teilt, was eine Formel für $\frac{dy}{dx}$ in Abhängigkeit von $x$ und $y$ ergibt.

Gibst du einen Punkt der Kurve an, setzt der Rechner ihn ein, liefert die Steigung als Zahl und schreibt die Gleichung der Tangente in diesem Punkt. Die fertige Formel wird unabhängig mit $-\frac{F_x}{F_y}$ verglichen, dem Ergebnis, das die partiellen Ableitungen vorhersagen, damit du der Antwort vertrauen kannst, bevor du sie abschreibst.

Was ist implizites Differenzieren?

Eine Gleichung wie $x^2 + y^2 = 25$ definiert $y$ implizit: Sie beschreibt eine Beziehung zwischen $x$ und $y$ , statt $y$ direkt anzugeben. In der Nähe der meisten Punkte der Kurve verhält sich $y$ trotzdem wie eine Funktion von $x$ , auch wenn man diese Funktion nicht hinschreiben kann. Implizites Differenzieren berechnet ihre Ableitung aus der Beziehung selbst.

Der Schlüssel ist die Kettenregel. Hängt $y$ von $x$ ab, ist die Ableitung von $y^2$ nach $x$ nicht $2y$ , sondern $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . Dasselbe gilt für $\sin y$ , $e^y$ oder jeden anderen Term in $y$ : Man leitet wie gewohnt ab und multipliziert mit $y'$ . Terme, die nur $x$ enthalten, werden normal abgeleitet, und Konstanten fallen weg.

Das Ergebnis enthält meist sowohl $x$ als auch $y$ , wie bei $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . Das ist normal und richtig. Zu einem $x$ -Wert können mehrere Punkte der Kurve gehören, mit jeweils anderer Steigung: Die Formel braucht also die $y$ -Koordinate, um zu wissen, welcher Punkt gemeint ist.

So benutzt du den Rechner für implizites Differenzieren

Schreibe eine Gleichung in x und y mit genau einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel x^2 + y^2 = 25 oder x^3 + y^3 = 6 x y.
Verwende ein Leerzeichen oder ein * zum Multiplizieren von Buchstaben: x y oder x*y für das Produkt von x und y.
Gib auf Wunsch einen Punkt der Kurve ein, etwa x = 3, y = 4, um Steigung und Tangente in diesem Punkt zu erhalten.
Klicke auf dy/dx berechnen, um jede abgeleitete Seite, die gesammelten Terme mit y′ und die fertige Formel zu sehen.
Hast du einen Punkt angegeben, liest du Steigung und Tangentengleichung in den letzten Schritten ab.

Formeln

Kettenregel für einen Term in y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

Produktregel mit y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

Abkürzung über partielle Ableitungen

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

Tangente in (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

Durchgerechnetes Beispiel: x² + y² = 25 im Punkt (3, 4)

Das Rechenbeispiel wird live für den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ im Punkt $(3, 4)$ berechnet. Ableiten beider Seiten liefert $2x + 2y\,y' = 0$ ; der Term $2y\,y'$ stammt aus der Kettenregel. Bringt man $2x$ auf die andere Seite und teilt durch $2y$ , erhält man $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

In $(3, 4)$ beträgt die Steigung $-\frac34 = -0.75$ : Die Tangente hat also die Gleichung $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . Die Geometrie bestätigt das: Der Radius zum Punkt $(3, 4)$ hat die Steigung $\frac43$ , und die Tangente an einen Kreis steht senkrecht auf dem Radius, ihre Steigung muss also der negative Kehrwert sein, $-\frac34$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{Steigung im Punkt} = -0.75

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Bestimme dy/dx für eine implizit definierte Kurve, wobei y als differenzierbare Funktion von x aufgefasst wird.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

Lösungsweg Schritt für Schritt

y als Funktion von x auffassen und beide Seiten nach x ableiten
Jeder Term mit y braucht die Kettenregel: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
Ergebnis nach dem Ableiten beider Seiten
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
Die y′-Terme auf einer Seite sammeln
Alle y′-Terme nach links und alles andere nach rechts bringen, dann y′ ausklammern.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
Durch Division y′ isolieren
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
Setze x = 3, y = 4 ein
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
Tangente im Punkt
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

Verwendete Formeln

Kettenregel für y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
Formel für implizite Funktionen
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

Leitet man beide Seiten ab, bleibt die Gleichung im Gleichgewicht; da y von x abhängt, erzeugt jeder y-Term einen Faktor y′, nach dem anschließend algebraisch aufgelöst wird. Das Ergebnis enthält meist sowohl x als auch y.

Probe

Stimmt an mehreren Stichprobenstellen mit −F_x / F_y aus einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm überein ✓
(3, 4) liegt auf der Kurve ✓

Ausführliche Erklärung

Das Verfahren in vier Schritten

Erstens: Leite alle Terme beider Seiten nach $x$ ab. Zweitens: Enthält ein Term $y$ , multipliziere seine Ableitung mit $y'$ ; sind $x$ und $y$ miteinander multipliziert, verwende die Produktregel. Drittens: Bringe alle Terme mit $y'$ auf eine Seite und den Rest auf die andere. Viertens: Klammere $y'$ aus und teile durch das, was übrig bleibt.

Angewendet auf $x^3 + y^3 = 6xy$ liefern die ersten beiden Schritte $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ , weil die rechte Seite ein Produkt ist. Nach dem Sammeln der Terme bleibt $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ , also $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . Der Rechner zeigt genau diese Schrittfolge.

Warum die Kettenregel y′ erzeugt

Stell dir $y$ als $y(x)$ vor, eine Funktion, die man nicht sieht. Dann ist $y^3$ in Wahrheit eine verkettete Funktion, die dritte Potenz von $y(x)$ , und die Kettenregel sagt, dass ihre Ableitung $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ ist. Implizites Differenzieren ist nichts anderes als die gewohnte Kettenregel, angewendet auf eine innere Funktion, deren Formel man nicht kennt.

Deshalb gilt auch $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ und $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . Für die Gleichung $\sin y = x$ liefert das Ableiten $\cos y\,y' = 1$ , also $y' = \frac{1}{\cos y}$ . Da diese Kurve auf ihrem Hauptzweig $y = \arcsin x$ ist, erhält man so schnell die Ableitung des Arkussinus, sobald man $\cos y$ als $\sqrt{1 - x^2}$ schreibt.

Steigungen, Tangenten und besondere Punkte

Setzt man einen Punkt in die Formel ein, erhält man die Steigung in diesem Punkt, aber nur, wenn der Punkt wirklich auf der Kurve liegt; prüfe also zuerst, ob er die ursprüngliche Gleichung erfüllt. Mit der Steigung $m$ und dem Punkt $(x_0, y_0)$ hat die Tangente die Gleichung $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

Die Formel hilft auch, besondere Punkte zu finden. Waagerechte Tangenten liegen dort, wo der Zähler von $\frac{dy}{dx}$ null wird und der Nenner nicht. Senkrechte Tangenten liegen dort, wo der Nenner null wird und der Zähler nicht; beim Kreis geschieht das in $(\pm 5, 0)$ , wo $y = 0$ ist. Werden Zähler und Nenner gleichzeitig null, wie im Ursprung des kartesischen Blatts, kann sich die Kurve selbst schneiden, und die Steigung muss gesondert untersucht werden.

Eine Abkürzung über partielle Ableitungen

Bringt man alles auf eine Seite, schreibt sich die Kurve als $F(x, y) = 0$ . Die Analysis mehrerer Variablen liefert dann die Formel $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ , wobei $F_x$ und $F_y$ partielle Ableitungen sind. Für $x^2 + xy + y^2 = 7$ gilt $F_x = 2x + y$ und $F_y = x + 2y$ , also $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , was in $(1, 2)$ den Wert $-0.8$ hat.

Der Rechner nutzt diese Formel als unabhängige Kontrolle des schrittweisen Ergebnisses. Du kannst es genauso machen: Stimmen deine Handrechnung und die Abkürzung überein, kannst du dem Ergebnis vertrauen.

Wo es später gebraucht wird: verknüpfte Änderungsraten

Implizites Differenzieren ist der Motor hinter Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten. Rutscht eine Leiter an einer Wand ab, erfüllen ihr Fuß und ihre Spitze zu jedem Zeitpunkt $x^2 + y^2 = L^2$ , und beide Koordinaten hängen von der Zeit ab. Leitet man nach $t$ statt nach $x$ ab, erhält man $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ , was die Geschwindigkeit des Fußes mit der der Spitze verknüpft.

Das Vorgehen ist dasselbe wie auf dieser Seite: die Beziehung ableiten, die Kettenregel auf jede veränderliche Größe anwenden und nach der gesuchten Rate auflösen. Darauf beruht auch das logarithmische Differenzieren, bei dem man von beiden Seiten von $y = x^x$ den $\ln$ nimmt und $\ln y = x \ln x$ implizit ableitet, um $y' = x^x(\ln x + 1)$ zu erhalten.

Häufige Fehler

Die Ableitung von $y^2$ als $2y$ schreiben und den Faktor $y'$ vergessen.
Bei gemischten Termen die Produktregel vergessen, sodass $\frac{d}{dx}[xy]$ nur als $y'$ oder $xy'$ dasteht.
Die Konstante auf der rechten Seite wie eine Variable ableiten, statt 0 zu erhalten.
Durch einen Term teilen, der im untersuchten Punkt null ist, wodurch eine senkrechte Tangente verborgen bleibt.
Einen Punkt einsetzen, der die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt.
Unnötig vorher nach $y$ auflösen, was oft Quadratwurzeln mit unklarem Vorzeichen erzeugt.

Tipps

Kreise jedes $y'$ beim Aufschreiben ein oder markiere es, damit beim Sammeln der Terme keines verloren geht.
Multipliziere Produkte vor dem Ableiten aus, wenn das die Zahl der Produktregel-Terme verringert.
Nutze $-\frac{F_x}{F_y}$ , um dein Ergebnis schnell zu kontrollieren.
Vereinfache den fertigen Bruch, indem du gemeinsame Faktoren wie 2 oder 3 kürzt.
Prüfe, ob dein Punkt auf der Kurve liegt, bevor du die Tangente berechnest.
Für die zweite Ableitung leitest du $y'$ noch einmal implizit ab und setzt die Formel der ersten Ableitung ein.

Häufige Fragen

Wann verwendet man implizites Differenzieren?

Immer dann, wenn y durch eine Gleichung mit x verbunden ist, die sich schwer oder gar nicht nach y auflösen lässt, wie x³ + y³ = 6xy, oder wenn das Auflösen die Kurve in mehrere Zweige zerlegen würde, wie bei Kreisen und Ellipsen.

Warum enthält dy/dx neben x auch y?

Zu einem x-Wert können mehrere Punkte einer impliziten Kurve gehören, jeder mit eigener Steigung. Das y in der Formel gibt an, welcher Punkt gemeint ist. Beim Kreis liefert −x/y in (3, 4) den Wert −0.75 und in (3, −4) den Wert +0.75.

Wie gebe ich den Punkt für die Steigung ein?

Schreibe beide Koordinaten in das optionale Feld, zum Beispiel x = 3, y = 4. Der Rechner setzt sie in dy/dx ein und schreibt die Tangentengleichung aus Punkt und Steigung.

Kann er Gleichungen mit sin y oder e^y ableiten?

Ja. Jeder differenzierbare Term in x und y ist erlaubt. Terme wie sin y oder e^y bekommen durch die Kettenregel den Faktor y′: So ergibt sin y = x die Ableitung dy/dx = 1/cos y.

Was bedeutet es, wenn der Nenner von dy/dx null ist?

In diesem Punkt ist die Tangente senkrecht, sofern der Zähler nicht ebenfalls null wird. Bei x² + y² = 25 geschieht das in (5, 0) und in (−5, 0).

Ist implizites Differenzieren dasselbe wie partielle Ableitungen zu verwenden?

Beide liefern dasselbe Ergebnis. Das schrittweise Verfahren nutzt direkt die Kettenregel, während die Formel dy/dx = −F_x/F_y die partiellen Ableitungen von F(x, y) verwendet. Der Rechner zeigt das Erste und prüft es mit dem Zweiten.

Kann ich mit diesem Rechner d²y/dx² berechnen?

Der Rechner liefert die erste Ableitung. Für die zweite Ableitung leitest du die Formel für dy/dx mit der Quotientenregel noch einmal ab, wobei y weiterhin von x abhängt, und ersetzt dann jedes auftretende y′ durch den Term der ersten Ableitung.

Welche Buchstaben muss die Gleichung verwenden?

Die Gleichung muss in x und y geschrieben sein, mit y als abhängiger Variable. Andere Buchstaben werden nicht akzeptiert, und der Rechner weist darauf hin, statt ihre Rolle zu erraten.

Muss ich vor dem Ableiten nach y auflösen?

Nein, und meist ist es besser, darauf zu verzichten. Löst man x² + y² = 25 nach y auf, erhält man ±√(25 − x²), zwei verschiedene Funktionen mit unhandlichen Quadratwurzeln. Leitet man die ursprüngliche Gleichung ab, behandelt man beide Kreishälften auf einmal.

Probier den Rechner für implizites Differenzieren aus

Gib eine Gleichung in x und y ein und erhalte dy/dx mit jedem Schritt, dazu Steigung und Tangente im Punkt deiner Wahl.

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