Umkehrfunktion-Rechner

Über den Umkehrfunktion-Rechner

Eine Umkehrfunktion macht eine Zuordnung rückgängig. Rechnet $f$ Grad Celsius in Grad Fahrenheit um, rechnet ihre Umkehrfunktion Fahrenheit zurück in Celsius; verdoppelt $f$ eine Zahl und addiert drei, so subtrahiert die Umkehrfunktion drei und halbiert. Von Hand vertauschst du dazu die Rollen von Eingabe und Ausgabe und löst eine Gleichung: Bei linearen Funktionen ist das Routine, mit Brüchen, Wurzeln und Exponentialfunktionen wird es aber schnell unübersichtlich.

Dieser Rechner bestimmt $f^{-1}(x)$ für lineare, gebrochenrationale, Potenz-, Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie für die üblichen trigonometrischen Funktionen. Er zeigt die Schritte Vertauschen und Auflösen, gibt die Definitionsmenge der Umkehrfunktion an und wählt, wenn $f$ nicht injektiv ist, einen Standardast und weist darauf hin. Jedes Ergebnis wird numerisch geprüft, indem $f$ an Testpunkten mit $f^{-1}$ verkettet wird.

Was ist eine Umkehrfunktion?

Die Umkehrfunktion einer Funktion $f$ ist die Funktion $f^{-1}$ mit $f^{-1}(f(x)) = x$ für jedes $x$ der Definitionsmenge von $f$ und $f(f^{-1}(y)) = y$ für jedes $y$ der Wertemenge von $f$ . Die Schreibweise $f^{-1}$ bezeichnet die Umkehrfunktion und nicht den Kehrwert $\frac{1}{f}$ .

Nur injektive Funktionen sind umkehrbar, denn jeder Funktionswert darf nur von einer einzigen Eingabe stammen. Am Graphen erkennst du das mit dem Waagerechtentest: Keine waagerechte Gerade darf die Kurve zweimal schneiden. Der Graph von $f^{-1}$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der Geraden $y = x$ , und Definitions- und Wertemenge tauschen ihre Rollen.

So benutzt du den Umkehrfunktion-Rechner

Gib die Funktion in $x$ ein, zum Beispiel (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 oder e^x.
Starte die Berechnung.
Lies die Schritte: f(x) durch y ersetzen, x und y vertauschen und nach y auflösen.
Beachte die Definitionsmenge von f⁻¹ und jede Einschränkung auf einen Ast, die der Rechner vorgenommen hat.
Nutze die Prüfzeilen, um zu bestätigen, dass sich f und f⁻¹ gegenseitig aufheben.

Formeln

Kennzeichnende Eigenschaft

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Vertauschen und auflösen

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Tausch von Definitions- und Wertemenge

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Umkehrfunktion einer gebrochen-linearen Funktion

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Durchgerechnetes Beispiel: (2x + 3)/(x − 1)

Das Beispiel kehrt $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ um. Nach dem Vertauschen wird in der Gleichung $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ der Nenner beseitigt, alle Terme mit $y$ werden auf eine Seite gebracht und $y$ wird ausgeklammert.

Du erhältst $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Ihre Definitionsmenge schließt 2 aus, weil $f$ den Wert 2 nie annimmt: Für wachsendes $x$ nähert sich $f(x)$ der waagerechten Asymptote $y = 2$ , ohne sie zu erreichen.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Bestimme f⁻¹, die Funktion, die f(x) = (2 x + 3) / (x - 1) rückgängig macht.

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Ersetze f(x) durch y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren
$y(1x+-1) = 2x+3$
Die x-Terme auf eine Seite bringen und x ausklammern
$x(1y-2) = 3--1y$
Dividieren, um x zu isolieren
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Nach x aufgelöst
$x = \frac{y+3}{y-2}$
x und y vertauschen, um die Umkehrfunktion zu benennen
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f
$\text{Definitionsmenge von } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Verwendete Formeln

Umkehrfunktion
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Um eine Funktion umzukehren, schreibst du y = f(x), machst ihre Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge rückgängig, bis x allein steht, und vertauschst dann die Buchstaben.

Probe

Geprüft: f(f⁻¹(y)) = y an 12 Stichprobenstellen.
Geprüft: f⁻¹(f(x)) = x an 12 Stichprobenstellen.

Ausführliche Erklärung

Warum „Vertauschen und Auflösen“ funktioniert

Die Gleichung $y = f(x)$ beschreibt alle Punkte $(x, y)$ des Graphen. Vertauschst du die Buchstaben, beschreibst du die Menge der gespiegelten Punkte, also genau den Graphen der Umkehrfunktion. Löst du die vertauschte Gleichung nach $y$ auf, wird aus dieser Punktmenge wieder eine Funktionsgleichung. Das Verfahren scheitert nur, wenn der Auflöseschritt mehr als eine Lösung hat, und das zeigt, dass $f$ nicht injektiv ist.

Zu jeder Funktionsart gehört eine Umkehroperation: Subtraktion macht Addition rückgängig, Division macht Multiplikation rückgängig, die dritte Wurzel hebt die dritte Potenz auf, $\ln$ hebt $e^x$ auf und $\log_2$ hebt $2^x$ auf. Um $x^3 + 1$ umzukehren, machst du diese Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig: erst 1 subtrahieren, dann die dritte Wurzel ziehen, was $\sqrt[3]{x - 1}$ ergibt.

Die Definitionsmenge einschränken

Eine Funktion wie $x^2$ besteht den Waagerechtentest nicht, denn $2$ und $-2$ haben beide den Funktionswert 4. Damit sie umkehrbar wird, betrachtest du nur einen Teil der Definitionsmenge. Der Rechner verwendet den üblichen Ast $x \geq 0$ , der $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ liefert, und nennt die Einschränkung im Ergebnis. Für $x^2 + 1$ liefert derselbe Ast $\sqrt{x - 1}$ mit der Definitionsmenge $[1, \infty)$ .

Auch trigonometrische Funktionen werden standardmäßig eingeschränkt. Für $\sin x$ verwendet der Rechner $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , was $\arcsin x$ auf $[-1, 1]$ ergibt.

Wie das Ergebnis geprüft wird

Nachdem eine mögliche Umkehrfunktion gefunden ist, berechnet die Engine $f(f^{-1}(y))$ für Testwerte $y$ aus der Wertemenge von $f$ und verlangt, dass $y$ wieder herauskommt; andernfalls wird keine Umkehrfunktion ausgegeben. Außerdem berechnet sie $f^{-1}(f(x))$ : Liefert das nur für manche Eingaben wieder $x$ , ist $f$ nicht injektiv, und das Ergebnis nennt den verwendeten Ast. So fallen Vorzeichenfehler und falsche Äste auf, die man bei reiner Algebra leicht übersieht.

Häufige Fehler

$f^{-1}(x)$ als $\frac{1}{f(x)}$ lesen; der Exponent bezeichnet hier die Umkehrfunktion, nicht den Kehrwert.
Vergessen, $x$ und $y$ zu vertauschen, und $y = f(x)$ nur nach $x$ auflösen, sodass das Ergebnis von $y$ abhängt.
Behaupten, die Umkehrfunktion von $x^2$ sei $\pm\sqrt x$ ; eine Funktion liefert nur einen Wert, also musst du einen Ast wählen.
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion übergehen, die gleich der Wertemenge der ursprünglichen Funktion ist.
Die Operationen in der ursprünglichen statt in der umgekehrten Reihenfolge rückgängig machen.

Tipps

Teste einen Wert: Ist $f(2) = 7$ , dann muss $f^{-1}(7)$ gleich 2 sein.
Zeichne $f$ mit dem Funktionsplotter und wende den Waagerechtentest an, bevor du umkehrst.
Bei einem Quotienten linearer Terme beseitigst du die Nenner, sammelst die Terme mit $y$ und klammerst $y$ aus.
Bestimme die Wertemenge von $f$ mit dem Rechner für Definitions- und Wertemenge, um die Definitionsmenge der Umkehrfunktion zu erhalten.
Prüfe mit dem Rechner für verkettete Funktionen, dass sich $f(f^{-1}(x))$ zu $x$ vereinfacht.

Häufige Fragen

Wie bestimmt man die Umkehrfunktion einer Funktion?

Ersetze f(x) durch y, vertausche x und y, löse die neue Gleichung nach y auf und schreibe das Ergebnis als f⁻¹(x). Gib dann die Definitionsmenge an, die der Wertemenge der ursprünglichen Funktion entspricht.

Hat jede Funktion eine Umkehrfunktion?

Nein, nur injektive Funktionen. Funktionen, die den Waagerechtentest nicht bestehen, wie x² oder sin x, müssen eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar werden.

Welchen Ast wählt der Rechner für x²?

Er verwendet x ≥ 0, die Umkehrfunktion ist also die Quadratwurzel. Die Einschränkung erscheint im Ergebnis, damit du weißt, welcher Ast verwendet wurde.

Ist f⁻¹(x) dasselbe wie 1/f(x)?

Nein. Der Exponent −1 bezeichnet die Umkehrfunktion. Der Kehrwert 1/f(x) ist eine andere Funktion, die man meist als Bruch oder als (f(x))⁻¹ schreibt.

Was ist die Umkehrfunktion von e^x?

Der natürliche Logarithmus ln x, definiert für x > 0. Ebenso ist die Umkehrfunktion von 2^x der Logarithmus von x zur Basis 2.

Wie hängen die Graphen von f und f⁻¹ zusammen?

Sie liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x: Zu einem Punkt (a, b) des einen Graphen gehört der Punkt (b, a) des anderen.

Wie prüft der Rechner die Umkehrfunktion?

Er berechnet f(f⁻¹(y)) an mehreren Testpunkten und gibt nur dann eine Umkehrfunktion aus, wenn alle Werte unverändert zurückkommen. Er verkettet auch in der anderen Richtung, um Fälle zu erkennen, in denen eine Einschränkung auf einen Ast nötig war.

Probiere den Umkehrfunktion-Rechner aus

Gib eine Funktion ein und erhalte die Umkehrfunktion, die Definitionsmenge von f⁻¹ und die Probe Schritt für Schritt.

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