Verkettung von Funktionen: f(g(x)) berechnen und anwenden

Was Verketten bedeutet

Zu zwei Funktionen $f$ und $g$ ist die Verkettung $f \circ g$, gesprochen f nach g, die Funktion, die zuerst $g$ anwendet und dann $f$ auf das Ergebnis:

Die Reihenfolge sorgt für die meiste Verwirrung. Die rechts geschriebene Funktion, die $x$ am nächsten steht, wirkt zuerst. Denk an ein Fließband: $x$ geht in die Maschine $g$, das Produkt $g(x)$ wandert weiter in die Maschine $f$, und heraus kommt $f(g(x))$. Damit das funktioniert, muss jeder verwendete Wert von $g$ eine zulässige Eingabe für $f$ sein.

Verkettung ist keine Multiplikation. Das Produkt $(fg)(x)$ bedeutet $f(x) \cdot g(x)$, multipliziert also zwei Werte, während $(f \circ g)(x)$ eine Funktion in die andere einsetzt. Der kleine Kreis macht den Unterschied.

Zwei Funktionsterme verketten

Um $f(g(x))$ zu finden, nimm den Term von $f$ und ersetze jedes $x$ durch den ganzen Term $g(x)$ in Klammern. Vereinfache danach.

Die beiden Reihenfolgen ergeben völlig verschiedene Funktionen. Im Allgemeinen ist die Verkettung nicht kommutativ: $f \circ g$ und $g \circ f$ sind fast immer verschieden, und man darf nie annehmen, dass sie gleich sind. Dafür ist sie assoziativ: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, und eine Kette aus drei Funktionen lässt sich von innen nach außen berechnen.

Setze die innere Funktion beim Einsetzen immer in Klammern. Ohne sie wird aus $g(2x + 3)$ mit $g(x) = x^2$ leicht $2x + 3^2$, und das ist falsch.

Eine Verkettung mit Zahlen und Tabellen auswerten

Oft braucht man nur einen bestimmten Wert. Arbeite von innen nach außen: Berechne zuerst die innere Funktion und verwende dieses Ergebnis dann als Eingabe der äußeren Funktion. Den Term der Verkettung musst du dafür nicht bestimmen.

Angenommen, eine Tabelle liefert $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ und $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Dann ist $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ und $f(g(3)) = f(2) = -1$. Gäbe die Tabelle keinen Wert von $f$ für die von $g$ gelieferte Zahl an, wäre diese Verkettung für diese Eingabe einfach nicht definiert.

Bei Graphen ist das Vorgehen dasselbe. Um $f(g(3))$ aus zwei Graphen zu bestimmen, lies $g(3)$ am Graphen von $g$ ab, suche diesen Wert auf der x-Achse des Graphen von $f$ und lies den Funktionswert ab.

Der Definitionsbereich einer verketteten Funktion

Der Definitionsbereich von $f \circ g$ enthält genau die Werte $x$, die zwei Bedingungen erfüllen: $x$ liegt im Definitionsbereich von $g$, und $g(x)$ liegt im Definitionsbereich von $f$. Das Vereinfachen des verketteten Terms kann die erste Bedingung verstecken: Bestimme den Definitionsbereich daher aus den ursprünglichen Funktionen.

Ein kurzes Beispiel zeigt, warum das wichtig ist. Ist $f(x) = x^2$ und $g(x) = \sqrt{x}$, dann gilt $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, aber nur für $x \ge 0$. Der Term $x$ allein erweckt den Eindruck, jede reelle Zahl sei zulässig, und das stimmt nicht. Die Anleitung zu Definitions- und Wertebereich erläutert die hier verwendeten Einschränkungen genauer.

Eine Funktion zerlegen

Das Zerlegen geht den umgekehrten Weg: Zu einer komplizierten Funktion $h$ sucht man einfachere Funktionen mit $h = f \circ g$. Suche nach einem inneren Term, auf den eine äußere Operation wirkt.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: innere Funktion $g(x) = 3x - 1$, äußere Funktion $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: innere Funktion $g(x) = x^2 + 4$, äußere Funktion $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: innere Funktion $g(x) = \sin x$, äußere Funktion $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: innere Funktion $g(x) = x + 2$, äußere Funktion $f(u) = \frac{1}{u^2}$, oder eine Kette aus drei Schritten $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Zerlegungen sind nicht eindeutig, aber die nützlichste hat meist eine einfache innere Funktion. Den inneren Teil $u$ zu nennen, ist genau der Reflex, den du bei der Kettenregel und bei der Integration durch Substitution brauchst.

Verkettung in der Analysis und bei Umkehrfunktionen

Zwei große Themen bauen auf der Verkettung auf. Erstens die Kettenregel: Die Ableitung von $f(g(x))$ ist $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Für $(3x - 1)^5$ ergibt das $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. Der Leitfaden zu den Ableitungsregeln behandelt das ausführlich.

Zweitens sind zwei Funktionen genau dann Umkehrfunktionen voneinander, wenn ihre Verkettung in beiden Reihenfolgen die Eingabe zurückgibt: $f(f^{-1}(x)) = x$ und $f^{-1}(f(x)) = x$ auf den passenden Mengen. Für $f(x) = 2x + 3$ und $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ erhält man $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. So prüft man üblicherweise eine Umkehrfunktion, wie die Anleitung zu Umkehrfunktionen erklärt.

Ein Beispiel aus dem Alltag: Rabatte und Gutscheine

Ein Geschäft bietet 20% Rabatt, und du hast außerdem einen Gutschein über 10 Euro. Sei $d(p) = 0.8p$ das Anwenden des Rabatts auf einen Preis $p$ und $c(p) = p - 10$ das Einlösen des Gutscheins. Die Reihenfolge spielt eine Rolle.

• Erst der Gutschein, dann der Rabatt: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Erst der Rabatt, dann der Gutschein: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Bei einem Artikel für 50 Euro kostet die erste Reihenfolge 32 Euro und die zweite 30 Euro.

Den Prozentrabatt zuerst anzuwenden spart hier immer 2 Euro, weil der Gutschein nicht um den Prozentsatz verringert wird. Situationen dieser Art, in denen ein Vorgang einen anderen speist, sind Verkettungen und zeigen, dass die Reihenfolge von $f$ und $g$ kein bloßes technisches Detail ist.

Häufige Fehler

• Die Funktionen in der falschen Reihenfolge anwenden: Bei $f(g(x))$ wirkt zuerst $g$.
• $f(x)$ mit $g(x)$ multiplizieren, statt einzusetzen.
• Ohne Klammern einsetzen, vor allem bei Potenzen und Minuszeichen.
• Den Definitionsbereich nur aus dem vereinfachten Term bestimmen und Werte vergessen, die die innere Funktion ausschließt.
• Annehmen, dass $f \circ g = g \circ f$.

Beide Reihenfolgen und ihre Definitionsbereiche kannst du mit dem Rechner für Verkettungen überprüfen, der den Schritt des Einsetzens ausdrücklich zeigt.

Warum sich die Verkettung lohnt

Fast alle Funktionen, denen du nach der Algebra begegnest, entstehen durch Verkettung. Ein Funktionsterm für die Temperatur eines abkühlenden Getränks, die Auslenkung eines schwingenden Pendels oder den Wert einer Geldanlage ist meist eine einfache äußere Funktion, etwa eine Exponentialfunktion, ein Sinus oder eine Potenz, angewendet auf einen noch einfacheren inneren Term. Wer diese Struktur erkennt, kann die Form eines Graphen vorhersagen, weiß, wo eine Funktion definiert ist, und wählt die richtige Technik für Ableitungen und Integrale.

Die Verkettung erklärt auch die Transformationen von Graphen. Verschiebt man den Graphen von $f$ um drei Einheiten nach rechts, erhält man $f(x - 3)$, also $f$ verkettet mit der inneren Funktion $x - 3$. Eine Streckung in y-Richtung um den Faktor 2 ergibt $2f(x)$, also die äußere Funktion $2u$ verkettet mit $f$. So gesehen ändert eine Transformation innerhalb der Klammer die Eingabe und wirkt waagerecht, während eine Transformation außerhalb die Ausgabe ändert und senkrecht wirkt. Diese eine Beobachtung erklärt, warum waagerechte Verschiebungen scheinbar in die falsche Richtung gehen.

Gelöste Übungsaufgaben

Rechne auf Papier und vergleiche danach. Jede Aufgabe nutzt eine Idee aus den vorigen Abschnitten.

1. Ist $f(x) = x^2 + 1$ und $g(x) = x - 3$, berechne $f(g(x))$. Lösung: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Berechne mit denselben Funktionen $g(f(x))$. Lösung: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Ist $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = 4 - x$, bestimme den Definitionsbereich von $f(g(x))$. Lösung: $4 - x \ge 0$, also $(-\infty, 4]$.
4. Zerlege $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Lösung: innere Funktion $x^2 + 1$, äußere Funktion $\ln u$.
5. Ist $f(x) = 3x - 2$, berechne $f(f(2))$. Lösung: $f(2) = 4$ und $f(4) = 10$.

Hast du bei der ersten Aufgabe $x^2 - 2$ erhalten, hast du die Funktionen in der falschen Reihenfolge angewendet: Das ist die Lösung der zweiten. Die beiden Reihenfolgen zu vertauschen ist der häufigste Fehler, und ein Test mit einer Zahl wie $x = 0$ deckt ihn sofort auf: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, dagegen $g(f(0)) = g(1) = -2$.

Häufige Fragen