Definitionsmenge und Wertemenge bestimmen

Über den Rechner für Definitions- und Wertemenge

Bevor du eine Funktion zeichnest, umkehrst oder eine Gleichung mit ihr löst, musst du wissen, welche Eingaben sie zulässt und welche Ausgaben sie liefern kann. Diese beiden Mengen sind die Definitionsmenge und die Wertemenge. Die Definitionsmenge zu finden heißt vor allem, verbotene Rechenoperationen zu erkennen; die Wertemenge ist schwieriger, weil du wissen musst, welche Höhen der Graph tatsächlich erreicht.

Dieser Rechner bestimmt beide für Polynome, gebrochenrationale Funktionen, Wurzeln, Logarithmen, Exponentialfunktionen, Betragsfunktionen und die üblichen trigonometrischen Funktionen. Er listet jede Einschränkung auf, löst sie und untersucht dann die Funktion auf jedem Teil der Definitionsmenge, um die Wertemenge zusammenzusetzen. Die Ergebnisse stehen in Intervallschreibweise, wann immer möglich mit exakten Grenzen.

Was sind Definitionsmenge und Wertemenge?

Die Definitionsmenge einer Funktion ist die Menge aller Eingaben $x$ , für die der Funktionsterm eine reelle Zahl liefert. Die Wertemenge ist die Menge aller Ausgaben $f(x)$ , die entstehen, wenn $x$ die Definitionsmenge durchläuft. Am Graphen ist die Definitionsmenge der Schatten der Kurve auf der $x$ -Achse und die Wertemenge ihr Schatten auf der $y$ -Achse.

Drei Rechenoperationen schränken reelle Funktionsterme ein: die Division, die einen Nenner null verbietet; Wurzeln mit geradem Index, die einen Radikanden größer oder gleich null verlangen; und Logarithmen, deren Argument echt positiv sein muss. Eine Funktion ohne diese Operationen, etwa jedes Polynom, ist für alle reellen Zahlen definiert.

So benutzt du den Rechner für Definitions- und Wertemenge

Gib die Funktion in $x$ ein, zum Beispiel (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) oder log(x + 2).
Starte die Berechnung.
Lies die Liste der Einschränkungen und wie jede gelöst wird.
Verfolge die Schritte zur Wertemenge, die die Funktion auf jedem Intervall der Definitionsmenge untersuchen.
Übernimm Definitions- und Wertemenge in Intervallschreibweise.

Formeln

Nenner

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Wurzel mit geradem Index

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Logarithmus

\ln u(x):\; u(x) > 0

Scheitelpunkt einer Parabel

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Durchgerechnetes Beispiel: (x + 1)/(x − 2)

Das Beispiel untersucht $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Die einzige Einschränkung ist, dass der Nenner nicht null sein darf: $x = 2$ ist also eine Definitionslücke und wird aus der Definitionsmenge entfernt.

Für die Wertemenge untersucht die Engine jede Seite der Lücke getrennt. Auf beiden Teilen nähert sich die Funktion der waagerechten Asymptote $y = 1$ , ohne diesen Wert je zu erreichen: 1 ist also der einzige Wert, der in der Wertemenge fehlt.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Bestimme alle reellen x, für die f(x) = (x + 1) / (x - 2) definiert ist (Definitionsmenge), und alle Werte, die sie annimmt (Wertemenge).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Funktion aufschreiben
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Die Einschränkungen auflisten
der Nenner (x - 2) darf nicht 0 sein.
Löse (x - 2) ≠ 0
Der Term kann sein Vorzeichen nur bei 2 wechseln. Ein Testwert in jedem Intervall liefert die Lösungsmenge (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Wertemenge auf (-∞, 2)
für x → -∞, f → 1; für x → 2⁻, f → -∞. In diesem Intervall gibt es keine Extremstellen, also ist f dort monoton oder konstant. Die Funktion ist auf diesem Intervall stetig und nimmt daher jeden Wert zwischen dem kleinsten (-∞, nicht angenommen) und dem größten (1, nicht angenommen) an.
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Wertemenge auf (2, ∞)
für x → 2⁺, f → ∞; für x → ∞, f → 1. In diesem Intervall gibt es keine Extremstellen, also ist f dort monoton oder konstant. Die Funktion ist auf diesem Intervall stetig und nimmt daher jeden Wert zwischen dem kleinsten (1, nicht angenommen) und dem größten (∞, nicht angenommen) an.
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Die Teile zusammensetzen
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Verwendete Formeln

Einschränkungen
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

Die Definitionsmenge ergibt sich, indem man jede Einschränkung in der Formel löst und die Lösungsmengen schneidet. Die Wertemenge folgt aus der Stetigkeit: Auf jedem Intervall der Definitionsmenge nimmt die Funktion jeden Wert zwischen ihren Extremwerten und den Grenzwerten an den Intervallenden an.

Probe

Definitionsmenge an etwa 4,000 Stichprobenstellen geprüft: f ist genau dort reell und endlich, wo es die Definitionsmenge angibt ✓
Jeder Stichprobenwert von f liegt in der berechneten Wertemenge ✓

Ausführliche Erklärung

Die Definitionsmenge bestimmen

Beginne mit den reellen Zahlen und entferne alles Verbotene. Verlange, dass jeder Nenner ungleich null ist, jeder Term unter einer Quadratwurzel größer oder gleich null und jedes Logarithmusargument echt positiv, und schneide dann die Ergebnisse. Für $\sqrt{4 - x^2}$ liefert die Bedingung $4 - x^2 \geq 0$ das Intervall $[-2, 2]$ . Für $\frac{1}{x^2 - 4}$ werden zwei Stellen entfernt, sodass die Definitionsmenge in drei Intervalle zerfällt.

Vereinfache nicht vorher. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ lässt sich zu $x + 1$ kürzen, doch $x = 1$ bleibt aus der ursprünglichen Funktion ausgeschlossen, und der Rechner gibt die Definitionsmenge mit dieser Lücke an.

Die Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge hängt von der Form des Graphen ab. Eine Parabel erreicht ihren Extremwert im Scheitelpunkt: Bei $x^2 - 4x + 1$ liegt der Scheitelpunkt bei $x = 2$ mit dem Wert $-3$ , also ist die Wertemenge $[-3, \infty)$ . Eine Quadratwurzel beginnt bei null und wächst, also hat $\sqrt{x - 3}$ die Wertemenge $[0, \infty)$ . Ein Logarithmus nimmt jeden reellen Wert an, und $e^x$ nimmt jeden echt positiven Wert an.

Bei gebrochenrationalen Funktionen arbeitet der Rechner stückweise: Er bestimmt, wo die Funktion steigt oder fällt und welchem Wert sie sich an den Rändern jedes Intervalls nähert. So stellt er fest, dass $\frac{1}{x^2}$ die Wertemenge $(0, \infty)$ hat und $\frac{x}{x^2 + 1}$ zwischen $-\frac12$ und $\frac12$ bleibt. Lässt sich die Wertemenge nicht zuverlässig bestimmen, wie bei $\tan x$ , sagt der Rechner, dass sie nicht berechnet wurde, statt sie zu raten.

Die Intervallschreibweise lesen

Der Rechner verwendet eckige und runde Klammern: Eine eckige Klammer schließt die Grenze ein, eine runde schließt sie aus; bei Unendlich steht immer eine runde Klammer. Das Zeichen $\cup$ vereinigt getrennte Teile, also bezeichnet $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ alle reellen Zahlen außer 2. In deutschen Schulbüchern wird eine offene Grenze oft mit nach außen gedrehter eckiger Klammer und Semikolon geschrieben, die Bedeutung ist aber dieselbe. In dieser Form lassen sich die Ergebnisse leicht mit einem Graphen vergleichen.

Häufige Fehler

Eine gebrochenrationale Funktion vor der Suche nach der Definitionsmenge kürzen und dabei eine Lücke verlieren.
Bei einer Quadratwurzel $> 0$ verwenden (null ist erlaubt) oder bei einem Logarithmus $\geq 0$ (null ist nicht erlaubt).
Annehmen, die Wertemenge bestehe aus allen reellen Zahlen, nur weil die Definitionsmenge es ist.
Vergessen, dass eine waagerechte Asymptote einen Wert aus der Wertemenge ausschließen kann.
Bei Unendlich eine eckige Klammer setzen.

Tipps

Notiere alle Nenner, Radikanden und Logarithmusargumente, bevor du irgendetwas löst.
Zeichne die Funktion mit dem Funktionsplotter, um die Wertemenge optisch zu bestätigen.
Suche bei einer quadratischen Funktion den Scheitelpunkt; die Wertemenge beginnt oder endet bei seiner $y$ -Koordinate.
Denke daran, dass die Wertemenge von $f$ zur Definitionsmenge ihrer Umkehrfunktion wird.
Prüfe eine Grenze, indem du sie in die Funktion einsetzt.

Häufige Fragen

Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer Funktion?

Beginne mit den reellen Zahlen und entferne die Werte, die einen Nenner null machen, eine negative Zahl unter eine Wurzel mit geradem Index bringen oder ein Logarithmusargument kleiner oder gleich null ergeben. Was übrig bleibt, ist die Definitionsmenge.

Wie bestimmt man die Wertemenge einer Funktion?

Ermittle, welche Funktionswerte tatsächlich erreicht werden, mithilfe von Scheitelpunkt, Asymptoten, Monotonieintervallen und dem Verhalten an den Rändern jedes Teils der Definitionsmenge.

Was ist die Definitionsmenge eines Polynoms?

Die Menge der reellen Zahlen, geschrieben (−∞, ∞), weil ein Polynom keine Division durch x, keine Wurzel und keinen Logarithmus enthält.

Warum gehört 1 nicht zur Wertemenge von (x + 1)/(x − 2)?

Der Graph hat die waagerechte Asymptote y = 1. Die Gleichung (x + 1)/(x − 2) = 1 führt auf 1 = −2, was unmöglich ist: Die Funktion nimmt den Wert 1 nie an.

Was bedeuten eckige und runde Klammern in der Intervallschreibweise?

Eine eckige Klammer bedeutet, dass die Grenze dazugehört, eine runde, dass sie ausgeschlossen ist. Unendlich gehört nie dazu und steht daher immer mit runder Klammer.

Kann der Rechner trigonometrische Funktionen behandeln?

Ja, in den üblichen Fällen. Er stellt fest, dass sin x die Wertemenge [−1, 1] hat und tan x die Stellen π/2 plus Vielfache von π ausschließt, und weist darauf hin, wenn eine Wertemenge nicht berechnet wurde.

Was bedeutet log im Rechner?

log(x) bezeichnet den natürlichen Logarithmus, also ist log(x + 2) für x > −2 definiert und nimmt jeden reellen Wert an.

Probiere den Rechner für Definitions- und Wertemenge aus

Gib eine Funktion ein und erhalte Definitions- und Wertemenge in Intervallschreibweise, Schritt für Schritt.

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