Polynome faktorisieren: ein Fahrplan Schritt für Schritt

Warum Faktorisieren wichtig ist

Ein Polynom zu faktorisieren heißt, es als Produkt einfacherer Polynome zu schreiben. Ausmultiplizieren von $(x + 3)(x + 4)$ ergibt $x^2 + 7x + 12$; Faktorisieren ist der Weg zurück. Die faktorisierte Form ist meist viel nützlicher: Sie zeigt sofort die Lösungen einer Gleichung, vereinfacht Bruchterme durch Kürzen gemeinsamer Faktoren und verrät, wo ein Graph die x-Achse schneidet.

Jede Faktorisierung lässt sich prüfen, indem man die Faktoren wieder ausmultipliziert. Ergibt das Ausmultiplizieren nicht genau das ursprüngliche Polynom, stimmt etwas nicht: Mach das zur Gewohnheit.

Der Fahrplan zum Faktorisieren

Jede Lehrkraft und jedes Schulbuch ordnet die Techniken etwas anders, aber der folgende Fahrplan passt für fast alle Polynome aus einem ersten Algebrakurs. Wende ihn der Reihe nach an und beginne bei jedem Faktor von vorn, bis sich nichts mehr faktorisieren lässt.

1. Klammere den größten gemeinsamen Faktor aller Terme aus.
2. Zähle die Terme. Bei zwei Termen suchst du eine Differenz zweier Quadrate oder eine Summe oder Differenz zweier Kubikzahlen.
3. Bei drei Termen suchst du ein vollständiges Quadrat; ist es keines, nutze die Suche nach Summe und Produkt oder die AC-Methode.
4. Bei vier Termen versuche es mit Gruppieren.
5. Ab Grad drei und ohne erkennbare Form nutze den Satz über rationale Nullstellen und die Polynomdivision.
6. Prüfe jeden Faktor erneut und multipliziere dann zur Kontrolle aus.

Schritt 1: der größte gemeinsame Faktor

Fang immer hier an. Suche die größte Zahl, die alle Koeffizienten teilt, und die kleinste Potenz jeder Variablen, die in allen Termen vorkommt.

Ist der Leitkoeffizient negativ, klammere einen negativen gemeinsamen Faktor aus. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$ ist viel angenehmer, als mit einem negativen Term in $x^2$ zu arbeiten.

Trinome mit Leitkoeffizient 1

Für $x^2 + bx + c$ suchst du zwei Zahlen $m$ und $n$ mit $mn = c$ und $m + n = b$. Dann gilt $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 und 4 ergeben multipliziert 12 und addiert 7, daher die Faktoren $(x + 3)(x + 4)$.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ und 3 ergeben multipliziert $-15$ und addiert $-2$, daher die Faktoren $(x - 5)(x + 3)$.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ und $-5$, das ergibt $(x - 4)(x - 5)$.

Die Vorzeichen liefern eine Abkürzung. Ist $c$ positiv, haben beide Zahlen das Vorzeichen von $b$. Ist $c$ negativ, haben die Zahlen verschiedene Vorzeichen, und die betragsmäßig größere trägt das Vorzeichen von $b$.

Trinome mit beliebigem Leitkoeffizienten: die AC-Methode

Für $a \neq 1$ multiplizierst du $a$ mit $c$, suchst zwei Zahlen mit dem Produkt $ac$ und der Summe $b$, zerlegst damit den mittleren Term und faktorisierst dann durch Gruppieren.

Ein Trinom mit ganzzahligen Koeffizienten lässt sich genau dann über den ganzen Zahlen faktorisieren, wenn $b^2 - 4ac$ eine Quadratzahl ist. Für $3x^2 - 10x + 8$ ist die Diskriminante $100 - 96 = 4$, eine Quadratzahl: Die Suche muss also klappen. Ist die Diskriminante keine Quadratzahl, hör auf zu suchen und nimm die Mitternachtsformel.

Die binomischen Formeln, die du erkennen solltest

Drei Formen kommen so häufig vor, dass es sich lohnt, sie auf den ersten Blick zu erkennen:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: Die binomische Formel wird zweimal angewendet.
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$, denn $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ und $12x = 2(2x)(3)$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ und $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

Eine Summe zweier Quadrate wie $x^2 + 4$ lässt sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren. Ihre Diskriminante ist $-16$, also negativ.

Vier Terme: Faktorisieren durch Gruppieren

Teile das Polynom in zwei Paare, klammere in jedem Paar das Gemeinsame aus und suche eine gemeinsame Klammer.

Stimmen die Klammern nicht überein, ordne die Terme zu anderen Paaren um, bevor du aufgibst.

Höhere Grade: der Satz über rationale Nullstellen

Für ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten gilt für jede rationale Nullstelle $\frac{p}{q}$ in gekürzter Form: $p$ teilt das Absolutglied und $q$ teilt den Leitkoeffizienten. Teste die Kandidaten, bis einer null ergibt, und teile dann durch den zugehörigen Linearfaktor.

Der Polynomrechner führt die Division Schritt für Schritt aus, wenn du vergleichen möchtest.

Häufige Fehler beim Faktorisieren

• Den gemeinsamen Faktor vergessen, was ein schwierigeres Trinom und ein unvollständiges Ergebnis hinterlässt.
• Zu früh aufhören: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ ist nicht fertig, denn $x^2 - 4$ lässt sich noch faktorisieren.
• $a^2 + b^2$ wie eine Differenz zweier Quadrate behandeln.
• Vorzeichenfehler beim Gruppieren: $-4x - 12 = -4(x + 3)$, nicht $-4(x - 3)$.
• Nicht durch Ausmultiplizieren prüfen. Das dauert nur wenige Sekunden und deckt alle oben genannten Fehler auf.

Teste eigene Polynome mit dem Faktorisierungsrechner, der bei jedem Schritt die verwendete Methode angibt, und nutze die faktorisierten Formen, um Bruchterme zu vereinfachen.

Erkennen, wann sich ein Polynom nicht faktorisieren lässt

Nicht jedes Polynom lässt sich über den ganzen Zahlen faktorisieren, und wer das früh erkennt, spart viel Zeit. Berechne für ein quadratisches Polynom $ax^2 + bx + c$ mit ganzzahligen Koeffizienten die Diskriminante $b^2 - 4ac$. Ist sie eine Quadratzahl, zerfällt das Polynom in Linearfaktoren mit rationalen Koeffizienten. Ist sie positiv, aber keine Quadratzahl, sind die Nullstellen irrational und das Polynom heißt irreduzibel über den rationalen Zahlen; ist sie negativ, lässt es sich über den reellen Zahlen überhaupt nicht faktorisieren.

Zum Beispiel hat $x^2 + 3x + 1$ die Diskriminante $9 - 4 = 5$, die keine Quadratzahl ist: Kein Paar ganzer Zahlen ergibt multipliziert 1 und addiert 3. Seine Nullstellen $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ erhältst du mit der Mitternachtsformel. Die Quadratsumme $x^2 + 4$ hat die Diskriminante $-16$ und lässt sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren, wohl aber über den komplexen Zahlen in der Form $(x - 2i)(x + 2i)$.

Bei Polynomen vom Grad drei oder höher liefert der Satz über rationale Nullstellen eine endliche Liste von Kandidaten. Ist keiner davon eine Nullstelle, hat das Polynom keinen Linearfaktor mit rationalen Koeffizienten, auch wenn ein Polynom vom Grad vier trotzdem in zwei quadratische Polynome zerfallen kann.

Wofür du das Faktorisieren später brauchst

Faktorisieren ist kein isoliertes Thema. Das Lösen von Polynomgleichungen beruht auf dem Satz vom Nullprodukt: Ist $AB = 0$, dann ist $A = 0$ oder $B = 0$. Das Vereinfachen von Bruchtermen beruht auf dem Kürzen gemeinsamer Faktoren. Für die Schnittpunkte mit der x-Achse und das Vorzeichen eines Polynoms nutzt man direkt die faktorisierte Form, und in der Analysis lassen sich Grenzwerte der Form $\frac{0}{0}$ oft durch Faktorisieren und Kürzen bestimmen.

Zum Beispiel lässt sich $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ nicht durch Einsetzen berechnen, aber wenn du den Zähler als $(x - 2)(x + 2)$ faktorisierst und kürzt, bleibt $x + 2$: Der Grenzwert ist also 4. Auch die Partialbruchzerlegung zum Integrieren beginnt damit, den Nenner vollständig zu faktorisieren.

Prüfe eine Faktorisierung immer durch Ausmultiplizieren. Multiplizieren geht schneller als Faktorisieren und deckt Vorzeichenfehler sofort auf.

Um eine deiner Faktorisierungen zu prüfen, gib sie in den Faktorisierungsrechner ein oder multipliziere das Ergebnis mit dem Rechner zum Vereinfachen aus.

Häufige Fragen