Algebraische Terme Schritt für Schritt vereinfachen

Was Vereinfachen wirklich bedeutet

Ein Term wie $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ hat kein Gleichheitszeichen: Es gibt also nichts zu lösen. Ihn zu vereinfachen heißt, einen äquivalenten Term zu finden, also einen, der für jedes zulässige $x$ denselben Wert liefert und dabei kürzer und handlicher ist. Hier ist das $4x - 7$.

Das Schlüsselwort ist äquivalent. Jeder Schritt muss eine gültige Rechenregel sein und kein Raten, das zufällig ein schöneres Ergebnis liefert. Ein nützlicher Test ist das Einsetzen eines Werts: Für $x = 2$ ergibt der ursprüngliche Term $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, und $4(2) - 7 = 1$ ebenfalls. Eine Übereinstimmung an einer Stelle beweist nicht, dass zwei Terme äquivalent sind, aber ein Unterschied beweist, dass ein Fehler vorliegt.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Gleichartige Terme haben genau dieselben Variablen mit genau denselben Exponenten; nur der Koeffizient darf sich unterscheiden. $3x^2$ und $-7x^2$ sind gleichartig. $3x^2$ und $3x$ sind es nicht, ebenso wenig $xy$ und $x^2y$.

Um gleichartige Terme zusammenzufassen, addierst du die Koeffizienten und lässt den Variablenteil unverändert:

Unterstreiche oder markiere jede Gruppe gleichartiger Terme farbig, bevor du sie zusammenfasst, und nimm bei jedem Term sein Vorzeichen mit. In $4x + 3y - x$ lautet der Term $-x$, nicht $x$.

Das Distributivgesetz und das Auflösen von Klammern

Mit dem Distributivgesetz $a(b + c) = ab + ac$ löst du Klammern auf. Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert, und ein Minuszeichen vor einer Klammer ist ein Faktor $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, denn $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: Multipliziere jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, nicht $4x^2 + 9$.

Eine Summe gliedweise zu quadrieren, wie in $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, ist einer der häufigsten Fehler in der Algebra. Die richtige binomische Formel lautet $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Die Potenzgesetze

Produkte und Quotienten von Potenzen vereinfachst du mit einer kleinen Zahl von Regeln, die für jede Basis ungleich null gelten:

Der Potenzrechner wendet diese Regeln nacheinander an, wenn du einen längeren Term überprüfen möchtest.

Einen Bruchterm vereinfachen

Einen Bruchterm vereinfachst du, indem du Zähler und Nenner vollständig faktorisierst und dann die Faktoren kürzt, die in beiden vorkommen. Kürzen darf man nur Faktoren, niemals Summanden.

Die Einschränkung $x \neq -3$ muss erhalten bleiben, auch wenn $(x + 3)$ nicht mehr vorkommt, denn der ursprüngliche Term ist für diesen Wert nicht definiert. Um Brüche zu addieren, suchst du zuerst einen gemeinsamen Nenner:

Wenn es beim Faktorisieren hakt, erklärt die Anleitung zum Faktorisieren von Polynomen alle hier verwendeten Methoden, und der Rechner für Bruchterme zeigt das Vereinfachen Schritt für Schritt.

Wurzeln vereinfachen

Ziehe Faktoren, die Quadratzahlen sind, mit $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ für $a$ und $b$ größer oder gleich null aus der Wurzel. Fasse dann gleichartige Wurzeln wie gleichartige Terme zusammen.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ und $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, also $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, und das ist nicht $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Die Wurzel lässt sich nicht auf eine Summe verteilen.

Eine sinnvolle Arbeitsreihenfolge

1. Löse die Klammern mit dem Distributivgesetz auf und achte dabei auf Minuszeichen.
2. Wende die Potenzgesetze auf Produkte, Quotienten und Potenzen an.
3. Fasse gleichartige Terme zusammen.
4. Faktorisiere Brüche vollständig und kürze gemeinsame Faktoren, ohne die Einschränkungen zu verlieren.
5. Schreibe das Ergebnis in einer üblichen Reihenfolge, meist nach fallenden Potenzen: $3x^2 - x + 4$.
6. Mach eine kurze Probe, indem du einen einfachen Wert in den ursprünglichen Term und in das Ergebnis einsetzt.

Fehler, die den Wert verändern

• Summanden statt Faktoren kürzen: $\frac{x + 6}{x + 3}$ ist weder gleich $2$ noch gleich $\frac{6}{3}$.
• Ein Minuszeichen nur auf den ersten Term der Klammer anwenden.
• Beim Multiplizieren verschiedener Basen die Exponenten addieren: $x^2 y^3$ lässt sich nicht zu einer einzigen Potenz zusammenfassen.
• $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ oder $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ schreiben.
• Nach dem Vereinfachen die Einschränkungen vergessen.

Gib einen beliebigen Term in den Rechner zum Vereinfachen ein und vergleiche seine Schritte mit deinen. Mit dem vereinfachten Term wird das Lösen der zugehörigen Gleichung viel leichter; lies dazu, wie man lineare Gleichungen löst.

Ein längeres gelöstes Beispiel

Echte Aufgaben kombinieren meist mehrere der obigen Regeln. Eine davon sorgfältig durchzurechnen zeigt, wie die Reihenfolge der Schritte den Term im Griff behält.

Beachte, dass die Subtraktion vor $(x + 1)^2$ erst angewendet wurde, nachdem das Quadrat in der Klammer ausmultipliziert war. Erst ausmultiplizieren und dann das Minuszeichen auf alle Terme verteilen, so vermeidest du den klassischen Vorzeichenfehler.

Wann ist ein Term vollständig vereinfacht?

Lehrkräfte und Schulbücher teilen einige Konventionen für das Endergebnis. Ein Term gilt meist als vollständig vereinfacht, wenn keine Klammer mehr übrig ist, die sich ausmultiplizieren ließe, außer die faktorisierte Form ist verlangt; wenn keine zwei Terme gleichartig sind; wenn kein Exponent negativ oder null ist; wenn kein Bruch einen gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner hat; wenn keine Wurzel einen quadratischen Faktor enthält; und wenn kein Nenner eine Wurzel enthält.

Die letzte Regel erfüllst du, indem du den Nenner rational machst. Bei $\frac{6}{\sqrt{3}}$ multiplizierst du Zähler und Nenner mit $\sqrt{3}$: Du erhältst $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Beide Formen haben denselben Wert, etwa $3.464$, aber die zweite ist die übliche Endform.

Manchmal hängt die einfachste Form vom Ziel ab. Die ausmultiplizierte Form $x^2 - 3x - 10$ macht die Koeffizienten leicht ablesbar, während die faktorisierte Form $(x + 2)(x - 5)$ sofort die Nullstellen zeigt. Sagt eine Aufgabe nicht, welche Form erwartet wird, sind beide gleichwertig, aber die meisten Lehrkräfte erwarten bei Summen die ausmultiplizierte Form und bei Brüchen die faktorisierte und gekürzte Form.

Wenn zwei unterschiedlich aussehende Antworten den Einsetztest für zwei oder drei Werte bestehen, handelt es sich fast sicher um denselben Term in zwei Schreibweisen.

Vereinfachen mit mehreren Variablen

Terme mit mehreren Variablen folgen genau denselben Regeln, aber man verliert leichter einen Term aus den Augen. Es hilft, die Terme vor dem Zusammenfassen nach ihrem Variablenteil zu ordnen. In $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$ sind die gleichartigen Gruppen die Terme mit $a^2b$, die Terme mit $ab^2$ und die Terme mit $ab$. Fasst du jede Gruppe zusammen, erhältst du $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. Mehr lässt sich nicht zusammenfassen, weil jeder verbleibende Term einen anderen Variablenteil hat, aber alle haben den gemeinsamen Faktor $ab$: Der Term lässt sich also auch als $ab(2a + 2b + 5)$ schreiben.

Die Variablen innerhalb jedes Terms alphabetisch zu schreiben, zum Beispiel $ba$ als $ab$, hilft beim Erkennen gleichartiger Terme. Das ist auch eine übliche Konvention in Endergebnissen.

Häufige Fragen