Potenzrechner

Über den Potenzrechner

Exponenten sind eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation, gehen aber schnell darüber hinaus: Negative Exponenten beschreiben Kehrwerte, gebrochene Exponenten beschreiben Wurzeln, und einige Gesetze machen aus langen Produkten wenige Zeilen. Diese Gesetze zu verwechseln ist eine der häufigsten Fehlerquellen in der Algebra.

Der Rechner hat zwei Modi. Der Potenzmodus berechnet $a^b$ exakt für rationale Basis und rationalen Exponenten, zum Beispiel $8^{2/3} = 4$ oder $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-2} = \tfrac94$ , und weist darauf hin, wenn das Ergebnis irrational oder keine reelle Zahl ist. Der Vereinfachungsmodus wendet die Potenzgesetze auf Monome mit mehreren Variablen an und schreibt die Antwort mit positiven Exponenten.

Was ist ein Exponent?

In $a^n$ wird die Basis $a$ $n$ -mal mit sich selbst multipliziert, wenn $n$ eine positive ganze Zahl ist: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Der Exponent $n$ gibt also die Anzahl der Faktoren im Produkt an.

Die Definition wird so erweitert, dass die Gesetze weiterhin gelten: $a^0 = 1$ für $a \ne 0$ , $a^{-n} = 1/a^n$ und $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ . Damit hat jeder rationale Exponent eine Bedeutung, und $a^{m/n}$ ist die $n$ -te Wurzel aus $a$ , hoch $m$ genommen.

So benutzt du den Potenzrechner

Wähle „Potenz bⁿ berechnen“, um eine Zahl zu potenzieren, oder „Mit den Potenzgesetzen vereinfachen“, um die Gesetze auf einen Term anzuwenden.
Gib im Potenzmodus Basis und Exponent ein. Beide können ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 2/3 oder -1/2 sein.
Schreibe im Vereinfachungsmodus den Term mit ^ für Potenzen, zum Beispiel (2x^3y)^2/(4x^-1y^5).
Starte die Berechnung und verfolge die Schritte; jeder nennt das verwendete Gesetz, etwa die Potenz eines Produkts oder die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

Formeln

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Division von Potenzen mit gleicher Basis

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Potenzieren einer Potenz

(a^m)^n = a^{mn}

Potenz eines Produkts

(ab)^n = a^n b^n

Negativer Exponent

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Gebrochener Exponent

a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Durchgerechnetes Beispiel: 8^(2/3)

Das Beispiel berechnet $8^{2/3}$ . Der Nenner 3 des Exponenten steht für eine dritte Wurzel und der Zähler 2 für ein Quadrat, also berechnet der Rechner zuerst $\sqrt[3]{8} = 2$ und quadriert dann zu 4.

Zuerst die Wurzel zu ziehen hält die Zahlen klein: $8^2 = 64$ und danach $\sqrt[3]{64} = 4$ liefert dieselbe Antwort mit mehr Rechenaufwand.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

4

So haben wir deine Aufgabe verstanden

8 hoch 2/3 berechnen.

\left(8\right)^{\frac{2}{3}}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Basis und Exponent bestimmen
Basis b = 8, Exponent n = 2/3
$8^{\frac{2}{3}}$
Regel für Bruchexponenten
b^(m/n) = (ⁿ√b)^m: Der Nenner 3 ist die Wurzel, der Zähler 2 die Potenz.
$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2}$
Die dritte Wurzel exakt ziehen
$4$

Verwendete Formeln

Ganzzahlige Potenz
$b^n = \underbrace{b\cdot b\cdots b}_{n}$
Negativer Exponent
$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$
Rationaler Exponent
$b^{m/n} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

8 hoch 2/3 ergibt 4.

Probe

Dezimalprobe: 8^0.6666666667 ≈ 4.

Ausführliche Erklärung

Warum die Gesetze gelten

Die Multiplikation von Potenzen ist ein Abzählen. $a^3 \cdot a^2$ sind drei Exemplare von $a$ , multipliziert mit zwei weiteren, insgesamt fünf, also $a^5$ . Die Division ist Kürzen: In $\frac{a^5}{a^2}$ kürzen sich zwei Exemplare weg, und drei bleiben.

Die Definitionen von Exponent null und negativem Exponenten werden von der Divisionsregel erzwungen. Da $\frac{a^3}{a^3} = 1$ ist und die Regel $a^0$ liefert, muss $a^0 = 1$ gelten. Genauso ist $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ auch gleich $\frac{1}{a^3}$ , also $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ .

Gebrochene Exponenten und Wurzeln

Da $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$ ist, muss die Zahl $a^{1/n}$ die $n$ -te Wurzel aus $a$ sein. Der Rechner gibt ein exaktes Ergebnis aus, wenn die Wurzel rational ist, wie $32^{3/5} = 8$ , und behält andernfalls die exakte Wurzelform statt einer gerundeten Dezimalzahl.

Bei negativer Basis sind Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten reell, also $(-8)^{1/3} = -2$ , aber Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten sind keine reellen Zahlen: $(-4)^{1/2}$ hat keinen reellen Wert. Der Rechner weist darauf hin, statt ein irreführendes Ergebnis auszugeben.

Monome vereinfachen

Um einen Term wie $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ zu vereinfachen, wendest du zuerst das Gesetz für die Potenz eines Produkts an: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$ . Dann teilst du die Koeffizienten und subtrahierst die Exponenten Variable für Variable: $4/4 = 1$ , $x^{6-(-1)} = x^7$ und $y^{2-5} = y^{-3}$ . Zum Schluss schreibst du negative Exponenten als Kehrwerte und erhältst $\frac{x^7}{y^3}$ .

Wo Potenzen außerhalb des Unterrichts vorkommen

Potenzen beschreiben alles, was um einen festen Faktor wächst oder schrumpft. Ein Kapital, das mit 5 % pro Jahr verzinst wird, ist nach $t$ Jahren mit $1.05^t$ multipliziert, eine Population, die sich in jedem Zeitraum verdoppelt, wächst wie $2^t$ , und eine radioaktive Probe mit Halbwertszeit zerfällt wie $\left(\tfrac12\right)^t$ . Die wissenschaftliche Schreibweise, etwa $6.02 \times 10^{23}$ , nutzt Zehnerpotenzen, um sehr große oder sehr kleine Zahlen kompakt zu schreiben.

In allen Fällen gelten dieselben Gesetze. Zwei Jahre Wachstum, gefolgt von drei weiteren, ergeben $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ , und die Zeit bis zum Erreichen eines Zielwerts erhält man, indem man die Potenz mit einem Logarithmus rückgängig macht, was der Logarithmusrechner Schritt für Schritt erledigt.

Häufige Fehler

Die Basis mit dem Exponenten multiplizieren, etwa $2^3 = 6$ statt 8 schreiben.
Glauben, ein negativer Exponent mache das Ergebnis negativ. $2^{-3} = \tfrac18$ , und das ist positiv.
Den Exponenten nur auf einen Teil eines Produkts anwenden: $(3x)^2 = 9x^2$ , nicht $3x^2$ .
Einen Exponenten auf eine Summe verteilen: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
$-3^2 = -9$ mit $(-3)^2 = 9$ verwechseln; die Potenz wird vor dem Minuszeichen ausgeführt.

Tipps

Ziehe bei $a^{m/n}$ zuerst die Wurzel, wenn die Basis eine perfekte Potenz ist; so bleiben die Zahlen kleiner.
Behandle beim Vereinfachen von Monomen die Koeffizienten und jede Variable getrennt.
Lass negative Exponenten bis zum letzten Schritt stehen und bring sie dann auf die andere Seite des Bruchstrichs.
Setze immer Klammern, wenn du eine negative Zahl oder einen Bruch potenzierst.

Häufige Fragen

Was ergibt eine Zahl hoch null?

Jede von null verschiedene Zahl hoch null ergibt 1. Der Ausdruck 0 hoch 0 bleibt in diesem Rechner undefiniert, weil verschiedene Teilgebiete der Mathematik ihn unterschiedlich behandeln.

Wie berechnet man eine Potenz mit negativem Exponenten?

Nimm den Kehrwert der Basis und verwende den positiven Exponenten. Zum Beispiel ist 5 hoch minus 2 gleich 1 durch 25.

Was bedeutet ein gebrochener Exponent?

Der Nenner steht für eine Wurzel und der Zähler für eine Potenz. So ist 27 hoch 2/3 die dritte Wurzel aus 27, also 3, zum Quadrat genommen, und das ergibt 9.

Kann man eine negative Zahl mit einem gebrochenen Exponenten potenzieren?

Nur wenn der Nenner des vollständig gekürzten Exponenten ungerade ist. Minus 8 hoch 1/3 ergibt minus 2, aber minus 4 hoch 1/2 ist keine reelle Zahl.

Warum ist (a + b) zum Quadrat nicht gleich a zum Quadrat plus b zum Quadrat?

Exponenten verteilen sich über die Multiplikation, nicht über die Addition. Ausmultipliziert erhält man a zum Quadrat plus 2ab plus b zum Quadrat, und der mittlere Term wird leicht vergessen; das ist die erste binomische Formel.

Liefert der Rechner exakte Ergebnisse?

Ja. Die Ergebnisse sind exakte Brüche oder Wurzeln; eine Dezimalnäherung erscheint nur neben einem irrationalen Ergebnis.

Probiere den Potenzrechner aus

Berechne eine exakte Potenz oder vereinfache einen Term und sieh jedes angewendete Gesetz.

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