Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion bestimmen

Definitionen und Schreibweise

Eine Funktion ordnet jedem Element einer Menge, dem Definitionsbereich, genau einen Funktionswert zu. Die Menge aller tatsächlich angenommenen Funktionswerte ist der Wertebereich. Bei $f(x) = x^2$ lässt sich jede reelle Zahl quadrieren: Der Definitionsbereich sind also alle reellen Zahlen, aber ein Quadrat ist nie negativ: Der Wertebereich ist $[0, \infty)$.

Definitions- und Wertebereich schreibt man meist mit Intervallen. Eine eckige Klammer schließt den Randpunkt ein, eine runde schließt ihn aus; bei Unendlich steht immer eine runde Klammer. Getrennte Teile verbindet man mit dem Vereinigungszeichen $\cup$: Alle reellen Zahlen außer 3 schreibt man so: $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$. Die Mengenschreibweise, etwa $\{x \mid x \neq 3\}$, sagt dasselbe in Worten.

Ist eine Funktion nur durch einen Term ohne weitere Angaben gegeben, ist ihr Definitionsbereich der maximale Definitionsbereich: die größte Menge reeller Zahlen, für die der Term sinnvoll ist. Eine Aufgabe kann den Definitionsbereich aber auch bewusst einschränken, etwa bei einer Sachaufgabe, in der eine Länge nicht negativ sein kann.

Es hilft, sich eine Funktion als Maschine vorzustellen. Der Definitionsbereich ist die Liste der Eingaben, die die Maschine ohne Störung annimmt, und der Wertebereich ist die Liste von allem, was herauskommen kann. Zwei Funktionen mit demselben Term, aber unterschiedlichen Definitionsbereichen sind streng genommen verschiedene Funktionen; deshalb gehört der Definitionsbereich zur Definition und ist kein Nebendetail.

Den Definitionsbereich bestimmen: die drei Einschränkungen

Bei den Funktionen aus Algebra und Analysis-Vorkurs können mit einem reellen Wert nur drei Dinge schiefgehen. Prüfe jedes davon und schließe die Werte aus, die es verursachen.

1. Division durch null: Ein Nenner darf nicht null sein.
2. Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten aus negativen Zahlen: Der Radikand einer Quadratwurzel, vierten Wurzel usw. muss größer oder gleich null sein. Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten, etwa Kubikwurzeln, akzeptieren jede reelle Zahl.
3. Logarithmen von negativen Zahlen oder null: Der Numerus muss echt positiv sein.

Ganzrationale Funktionen wie $3x^4 - x + 7$ haben keine dieser Stellen: Ihr Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen, $(-\infty, \infty)$. Dasselbe gilt für $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $|x|$ und Kubikwurzeln.

Beispiele zum Definitionsbereich

Beispiel 3 nutzte die Regel für das Teilen einer Ungleichung durch eine negative Zahl. Die Anleitung zum Lösen von Ungleichungen erklärt diese Regel und auch die Vorzeichentabelle für Bedingungen wie $\frac{x - 1}{x + 2} \ge 0$.

Kombiniert eine Funktion mehrere dieser Stellen, schreibe jede Bedingung einzeln auf, löse sie nacheinander und bilde dann die Schnittmenge der Ergebnisse. Die meisten Fehler entstehen durch eine vergessene Bedingung, nicht beim Lösen.

Den Wertebereich rechnerisch bestimmen

Der Wertebereich ist meist schwieriger, weil er danach fragt, welche Ausgaben möglich sind, und nicht, welche Eingaben erlaubt sind. Drei Techniken decken die meisten Fälle ab.

Erstens: Nutze die bekannten Wertebereiche der Grundfunktionen. Quadratwurzeln und Beträge sind nie negativ, $e^x$ ist immer echt positiv, und $\sin x$ und $\cos x$ liegen zwischen $-1$ und $1$. Transformationen verschieben oder strecken diese Mengen. Bei $f(x) = 2\sqrt{x - 4} + 1$ liefert die Wurzel $[0, \infty)$, das Multiplizieren mit zwei lässt $[0, \infty)$ unverändert, und das Addieren von 1 ergibt $[1, \infty)$.

Zweitens: Bringe quadratische Funktionen in Scheitelpunktform, um den Scheitelpunkt zu finden. Da ein Quadrat nie negativ ist, ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts das Minimum oder das Maximum.

Drittens: Löse $y = f(x)$ nach $x$ auf und finde heraus, welche Werte von $y$ ein gültiges $x$ im Definitionsbereich liefern.

Dieselbe Überlegung liefert den Wertebereich von $\frac{1}{x^2 + 1}$. Der Nenner ist mindestens 1, also ist der Wert höchstens 1; außerdem ist er immer echt positiv, kommt 0 aber beliebig nahe. Der Wertebereich ist $(0, 1]$.

Definitions- und Wertebereich am Graphen ablesen

Am Graphen ist der Definitionsbereich der Schatten, den die Kurve auf die x-Achse wirft, und der Wertebereich ihr Schatten auf der y-Achse. Fahre die Kurve von links nach rechts ab, um den Definitionsbereich zu finden, und von unten nach oben für den Wertebereich. Ausgefüllte Punkte zeigen eingeschlossene Randpunkte, leere Punkte ausgeschlossene Stellen, und Pfeile bedeuten, dass die Kurve unbegrenzt weiterläuft.

Senkrechte Asymptoten zeigen Werte außerhalb des Definitionsbereichs, und waagerechte Asymptoten deuten oft auf Werte außerhalb des Wertebereichs hin, wie in Beispiel 6. Aber Vorsicht: Eine Kurve kann eine waagerechte Asymptote schneiden, die Asymptote allein beweist also nicht, dass ein Wert ausgeschlossen ist. Der Funktionsplotter ist eine gute Möglichkeit, diese Merkmale zu sehen, bevor du sie rechnerisch bestätigst.

Abschnittsweise definierte Funktionen und Sachzusammenhänge

Bei einer abschnittsweise definierten Funktion ist der Definitionsbereich die Vereinigung der Intervalle, auf denen die einzelnen Teile definiert sind, und der Wertebereich die Vereinigung der Werte, die jeder Teil annimmt. Angenommen, $f(x) = x + 2$ für $x < 0$ und $f(x) = 3$ für $x \ge 0$. Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen. Der erste Teil liefert alle Werte kleiner als 2 und der zweite nur den Wert 3: Der Wertebereich ist also $(-\infty, 2) \cup \{3\}$.

In Anwendungen schränkt der Sachzusammenhang den Definitionsbereich weiter ein. Der Flächeninhalt eines Quadrats, $A = s^2$, akzeptiert als Term jede reelle Zahl $s$, aber die Seitenlänge muss echt positiv sein: Der sinnvolle Definitionsbereich ist $s > 0$ und der Wertebereich $A > 0$. Die Höhe eines geworfenen Balls ergibt nur vom Abwurf bis zu dem Moment Sinn, in dem er auf dem Boden aufkommt: Der Definitionsbereich ist ein abgeschlossenes Zeitintervall, auch wenn der quadratische Term für die Höhe überall definiert ist.

Definitions- und Wertebereich im weiteren Stoff

Diese Ideen tauchen ständig wieder auf. Eine Funktion besitzt auf einer Menge, auf der sie injektiv ist, eine Umkehrfunktion, und die Umkehrfunktion vertauscht Definitions- und Wertebereich, wie die Anleitung zu Umkehrfunktionen erklärt. Die Verkettung $f(g(x))$ verlangt, dass jeder Wert von $g$ im Definitionsbereich von $f$ liegt; siehe Verkettung von Funktionen. Logarithmen und Exponentialfunktionen, behandelt im Beitrag über Logarithmen, bilden ein klassisches Paar mit vertauschtem Definitions- und Wertebereich.

Häufige Fehler

• Vor dem Bestimmen des Definitionsbereichs kürzen. $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ lässt sich zu $x + 3$ kürzen, aber $x = 3$ bleibt aus der ursprünglichen Funktion ausgeschlossen.
• Bei Quadratwurzeln $>$ statt $\ge$ verwenden, wodurch grundlos der Randpunkt wegfällt, an dem die Wurzel null ist.
• Bei Logarithmen $\ge$ statt $>$ verwenden, wodurch grundlos ein Numerus null zugelassen wird.
• Annehmen, der Wertebereich seien alle reellen Zahlen, weil der Definitionsbereich es ist.
• Eine eckige Klammer auf der Seite von Unendlich setzen.

Zum Überprüfen deiner Antworten nutze den Rechner für Definitions- und Wertebereich, der jede gefundene Einschränkung und die resultierenden Intervalle auflistet.

Häufige Fragen