Der z-Wert erklärt mit gelösten Beispielen

Was der z-Wert misst

Eine Rohpunktzahl allein sagt wenig aus. 85 Punkte in einer Klassenarbeit klingen gut, aber wenn alle anderen 95 erreicht haben, ist das in Wahrheit ein schwaches Ergebnis. Der z-Wert, auch standardisierter Wert genannt, löst dieses Problem, indem er einen Wert im Verhältnis zu seiner Gruppe einordnet. Er beantwortet eine einzige Frage: Wie viele Standardabweichungen liegt dieser Wert vom Mittelwert entfernt?

Dabei ist $x$ der Wert, $\mu$ der Mittelwert und $\sigma$ die Standardabweichung. Ein positiver z-Wert bedeutet, dass der Wert über dem Mittelwert liegt; ein negativer, dass er darunter liegt; und null, dass er genau dem Mittelwert entspricht. Ein z-Wert von 2 bedeutet zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert, was für die meisten Datensätze ungewöhnlich hoch ist. Wie man die Standardabweichung selbst berechnet, kannst du in Standardabweichung berechnen nachlesen.

Einen z-Wert Schritt für Schritt berechnen

Die Einheiten kürzen sich immer heraus, weil Zähler und Nenner in der ursprünglichen Einheit stehen. Genau das macht z-Werte dimensionslos und zwischen völlig verschiedenen Messgrößen vergleichbar.

Ergebnisse auf verschiedenen Skalen vergleichen

Die praktischste Anwendung von z-Werten ist der faire Vergleich. Angenommen, eine Schülerin erreicht 82 Punkte in einem Chemietest mit Mittelwert 75 und Standardabweichung 5 und 88 Punkte in einem Geschichtstest mit Mittelwert 80 und Standardabweichung 8. Die Geschichtspunktzahl ist höher, aber welches Ergebnis ist beeindruckender?

Im Vergleich zu den anderen Schülern ist das Chemieergebnis besser: 1,4 Standardabweichungen über dem Mittelwert gegenüber 1,0. Dieselbe Idee erlaubt es Forschenden, Messungen verschiedener Instrumente zu vergleichen, und Analysten, die Leistung eines Unternehmens mit Branchen zu vergleichen, deren typische Werte sehr unterschiedlich sind.

Vom z-Wert zurück zum ursprünglichen Wert

Löst man die Formel umgekehrt auf, erhält man den ursprünglichen Wert, der zu einem gegebenen z-Wert gehört:

Für den Test mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 entspricht ein z-Wert von $-1.2$ dem Wert $70 + (-1.2)(10) = 58$. Diese Form ist nützlich, um Grenzwerte festzulegen, etwa um herauszufinden, welche Punktzahl ein Schüler braucht, um zu den besten 10 Prozent zu gehören, wie Beispiel 4 weiter unten zeigt.

Von z-Werten zu Perzentilen

Folgen die Daten einer Normalverteilung, der Gaußschen Glockenkurve, lässt sich ein z-Wert in ein Perzentil umrechnen, also den Anteil der Werte, die darunter liegen. Die Standardnormalverteilung hat den Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1, und ihre Verteilungsfunktion, geschrieben $\Phi(z)$, liefert diesen Anteil. Einige Richtwerte lohnt es sich zu merken:

• $\Phi(0) = 0.5$: Der Mittelwert entspricht dem 50. Perzentil.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ und $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$: Der Schüler aus Beispiel 1 war also besser als etwa 93 Prozent der Klasse.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$: Die Schülerin aus Beispiel 2 liegt also etwa beim 21. Perzentil.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, und deshalb taucht der Wert 1,96 in 95-Prozent-Konfidenzintervallen auf.

Die empirische Regel fasst die Glockenkurve zusammen: Etwa 68 Prozent der Werte liegen weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, etwa 95 Prozent weniger als zwei und etwa 99,7 Prozent weniger als drei. Werte mit $|z| > 3$ sind daher selten und werden oft als mögliche Ausreißer untersucht.

z-Werte für Stichprobenmittelwerte

Mittelwerte schwanken weniger als einzelne Werte. Zieht man Stichproben vom Umfang $n$ aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, hat der Stichprobenmittelwert die Standardabweichung $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, den sogenannten Standardfehler. Der z-Wert eines Stichprobenmittelwerts ist

Haben zum Beispiel 25 Schüler aus dem obigen Test den Mittelwert 73, ist der Standardfehler $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ und $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Drei Punkte mehr sind für einen einzelnen Schüler üblich, für den Mittelwert von 25 Schülern aber recht ungewöhnlich. Diese Formel ist der Ausgangspunkt für z-Tests und Konfidenzintervalle in Einführungskursen der Statistik.

Worauf man bei z-Werten achten sollte

• z-Werte mit $\Phi$ in Perzentile umzurechnen, ist nur zulässig, wenn die Daten ungefähr normalverteilt sind. Bei stark schiefen Daten wie Einkommen sollte man die Perzentile direkt aus den Daten ablesen.
• Verwende die Standardabweichung der Grundgesamtheit, wenn du sie kennst, und sonst die Stichprobenstandardabweichung als Schätzung; bei kleinen Stichproben muss man auf die Student-t-Verteilung zurückgreifen.
• Ein z-Wert beschreibt eine Position innerhalb einer Gruppe. z-Werte aus Gruppen mit sehr unterschiedlichem Niveau zu vergleichen, kann trotzdem täuschen.
• Behalte das Vorzeichen bei. Ein z-Wert von $-2$ und einer von $2$ sind gleich ungewöhnlich, bedeuten aber Gegensätzliches.

Der z-Wert-Rechner berechnet z-Werte, Perzentile und die Fläche zwischen zwei Werten, und der Standardabweichungsrechner liefert dir vorher den Mittelwert und die Standardabweichung, die du brauchst.

Wo z-Werte in der Praxis vorkommen

Berichte zu standardisierten Tests rechnen Rohpunktzahlen oft in Standardwerte oder Perzentile um, die auf derselben Idee wie der z-Wert beruhen. Kinderärzte verfolgen Größe und Gewicht eines Kindes mit Wachstumskurven, und manche klinische Werkzeuge geben diese Maße direkt als z-Werte für das Alter des Kindes an. Knochendichtemessungen liefern einen T-Wert, also einen z-Wert, der im Vergleich zu gesunden jungen Erwachsenen gemessen wird. Qualitätsingenieure markieren Teile, deren Maße um mehr als drei Standardabweichungen vom Nennwert abweichen, und Finanzanalysten standardisieren Renditen, um Fonds mit unterschiedlichem Risiko auf derselben Skala zu vergleichen.

Übungen

1. Ein Datensatz hat den Mittelwert 50 und die Standardabweichung 4. Berechne den z-Wert von 56. Lösung: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Testwerte haben den Mittelwert 100 und die Standardabweichung 15. Welcher Wert entspricht $z = -2$? Lösung: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Werte sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 100. Welcher Anteil liegt unter 650? Lösung: $z = 1.5$, also etwa $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, das heißt 93 Prozent.

Häufige Fragen