Statistik

Mittelwert, Median, Modus und Standardabweichung: der komplette Leitfaden

Von MathSolver Pro Editorial Team · Veröffentlicht am 25. Oktober 2026

Mittelwert, Median und Modus beschreiben die Mitte eines Datensatzes, Spannweite und Standardabweichung seine Streuung. Zu wissen, wie man jedes dieser Maße berechnet und wann es eine ehrliche Zusammenfassung liefert, ist die Grundlage der Statistik.

Lage und Streuung: die zwei großen Fragen

Eine Liste von Zahlen ist auf einen Blick schwer zu lesen. Die Statistik fasst sie zusammen, indem sie zwei Fragen beantwortet. Wo liegt die Mitte der Daten? Und wie weit liegen die Werte typischerweise von dieser Mitte entfernt? Die Lagemaße, also Mittelwert, Median und Modus, beantworten die erste Frage. Die Streuungsmaße, etwa Spannweite, Interquartilsabstand und Standardabweichung, beantworten die zweite.

Beide sind nötig. Zwei Klassen können in einer Klassenarbeit denselben Durchschnitt haben, und trotzdem liegen in der einen alle nah am Durchschnitt, während die Ergebnisse in der anderen von durchgefallen bis volle Punktzahl reichen. Die Mitte allein verbirgt diesen Unterschied, und die Streuung allein sagt nichts über die Leistung der Klasse als Ganzes.

Der Mittelwert

Der Mittelwert, auch arithmetisches Mittel oder Durchschnitt genannt, ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Für einen Datensatz $x_1, x_2, \ldots, x_n$ gilt:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Beispiel 1: der Mittelwert von acht Testergebnissen

Punktzahlen: 72, 85, 90, 85, 68, 95, 85, 77.
Summe: $72 + 85 + 90 + 85 + 68 + 95 + 85 + 77 = 657$ .
Mittelwert: $\frac{657}{8} = 82.125$ .

Der Mittelwert nutzt alle Werte, was ihn effizient, aber auch empfindlich macht. Ein einziger extremer Wert, ein Ausreißer, kann ihn deutlich verschieben. Ein gewichteter Mittelwert gibt manchen Werten mehr Gewicht als anderen. Zählt die Abschlussprüfung 60 Prozent der Note und die Hausarbeiten 40 Prozent, dann ergeben die Punktzahlen 80 und 90 zusammen $0.6(80) + 0.4(90) = 84$ und nicht den einfachen Durchschnitt 85.

Der Median

Der Median ist der mittlere Wert, nachdem die Daten der Größe nach geordnet wurden. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist er der einzelne Wert in der Mitte; bei einer geraden Anzahl ist er der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Beispiel 2: der Median derselben Ergebnisse

Ordne die Punktzahlen: 68, 72, 77, 85, 85, 85, 90, 95.
Es sind 8 Werte, das mittlere Paar steht also an den Positionen 4 und 5: 85 und 85.
Der Median beträgt also $\frac{85 + 85}{2} = 85$ .

Der Median berücksichtigt nicht, wie weit die extremen Werte entfernt sind, was ihn robust gegenüber Ausreißern macht. Angenommen, fünf Personen verdienen 30, 35, 40, 45 und 50 Tausend Dollar im Jahr. Mittelwert und Median betragen beide 40 Tausend. Kommt eine sechste Person hinzu, die eine Million Dollar verdient, also 1.000 Tausend, steigt der Mittelwert auf 200 Tausend, mehr als jeder außer dem Neuzugang verdient, während der Median nur auf 42,5 Tausend steigt. Deshalb werden Immobilienpreise und Einkommen meist über den Median angegeben.

Der Modus

Der Modus, auch Modalwert genannt, ist der häufigste Wert. Bei den Testergebnissen kommt 85 dreimal vor, der Modus ist also 85. Ein Datensatz kann einen Modus haben, zwei Modi (man nennt ihn dann bimodal), mehrere oder keinen, wenn jeder Wert genau einmal vorkommt.

Der Modus ist das einzige Lagemaß, das sich für qualitative Daten eignet. Aus Lieblingsfarben oder Turnschuhmarken kann man keinen Durchschnitt bilden, aber man kann sagen, welche am beliebtesten ist. Bei Zahlendaten ist der Modus vor allem dann nützlich, wenn sich Werte häufig wiederholen, etwa bei den Schuhgrößen in den Verkäufen eines Schuhgeschäfts, wo die meistverkaufte Größe genau das ist, was der Einkauf wissen muss.

Welches Lagemaß wählen?

Nimm den Mittelwert für ungefähr symmetrische Daten ohne extreme Ausreißer, etwa Körpergrößen oder Messfehler.
Nimm den Median für schiefe Daten oder Daten mit Ausreißern, etwa Einkommen, Immobilienpreise oder Wartezeiten.
Nimm den Modus für Kategorien oder für diskrete Werte, bei denen nur die häufigste Option zählt.

Der Vergleich von Mittelwert und Median verrät auch etwas über die Form der Daten. Ist der Mittelwert deutlich größer als der Median, zieht ein langer Ausläufer hoher Werte ihn nach oben, und die Verteilung ist rechtsschief. Ist der Mittelwert kleiner, ist sie linksschief. Bei den Testergebnissen ist der Mittelwert von 82,1 kleiner als der Median von 85, weil einige niedrige Ergebnisse den Mittelwert nach unten ziehen.

Streuung messen: Spannweite und Standardabweichung

Das einfachste Streuungsmaß ist die Spannweite: der größte Wert minus der kleinste. Bei den Testergebnissen beträgt sie $95 - 68 = 27$ Punkte. Die Spannweite ist leicht zu berechnen, hängt aber vollständig von den beiden extremsten Werten ab. Der Interquartilsabstand, der die Streuung der mittleren Hälfte der Daten misst, ist robuster.

Die Standardabweichung ist das meistverwendete Streuungsmaß. Sie gibt grob den typischen Abstand eines Werts vom Mittelwert an. Für eine gesamte Grundgesamtheit gilt:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Beispiel 3: eine Standardabweichung von Hand

Daten: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Der Mittelwert ist $\frac{40}{8} = 5$ .
Abweichungen vom Mittelwert: $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Quadrierte Abweichungen: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ , ihre Summe ist 32.
Varianz der Grundgesamtheit: $\frac{32}{8} = 4$ , die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist also $\sigma = 2$ .
Sind die Daten eine Stichprobe, teile durch $n - 1 = 7$ : $s = \sqrt{\frac{32}{7}} \approx 2.14$ .

Der Unterschied zwischen der Division durch $n$ und durch $n - 1$ und warum er wichtig ist, wird ausführlich in Standardabweichung berechnen erklärt.

Die passenden Kennzahlen kombinieren

Eine gute Zusammenfassung eines Datensatzes enthält ein Lagemaß und ein Streuungsmaß, die zueinander passen. Der Mittelwert passt natürlich zur Standardabweichung, weil beide alle Werte nutzen und beide empfindlich auf Ausreißer reagieren. Der Median passt zum Interquartilsabstand, weil beide robust sind. Einen Median zusammen mit einer Standardabweichung anzugeben, vermischt zwei verschiedene Logiken und kann verwirren.

Bei glockenförmigen Daten erzählen Mittelwert und Standardabweichung eine bemerkenswert vollständige Geschichte: Etwa 68 Prozent der Werte liegen weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt und etwa 95 Prozent weniger als zwei. Den Abstand eines Werts zum Mittelwert in Standardabweichungen zu messen, ist genau das, was der z-Wert tut. Der Rechner für Mittelwert, Median und Modus berechnet alle Maße dieses Artikels aus einer eingefügten Liste, und der Standardabweichungsrechner zeigt jeden Schritt der Streuungsberechnung.

Quartile und Interquartilsabstand

Die Quartile teilen die geordneten Daten in vier gleich große Teile. Eine einfache Methode ist, den Median jeder Hälfte zu nehmen. Bei den geordneten Ergebnissen ist die untere Hälfte 68, 72, 77, 85, das erste Quartil beträgt also $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$ . Die obere Hälfte ist 85, 85, 90, 95, das dritte Quartil beträgt also $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$ . Der Interquartilsabstand beträgt $87.5 - 74.5 = 13$ Punkte, die Breite der mittleren Hälfte der Klasse.

Lehrbücher und Programme verwenden leicht unterschiedliche Konventionen für Quartile, sodass kleine Abweichungen zwischen Ergebnissen normal sind und keinen Fehler anzeigen. Eine verbreitete Regel markiert jeden Wert als möglichen Ausreißer, der mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands unter dem ersten Quartil oder über dem dritten liegt. Hier liegen die Grenzen bei 55 und 107, kein Ergebnis ist also ungewöhnlich.

Häufige Fragen

Können Mittelwert, Median und Modus gleich sein?

Ja. Bei einer perfekt symmetrischen Verteilung mit einem einzigen Gipfel, etwa der idealen Glockenkurve, stimmen alle drei überein. Bei echten Daten liegen sie meist nah beieinander, ohne identisch zu sein.

Was, wenn ein Datensatz keinen Modus hat?

Kommt jeder Wert genau einmal vor, gibt es keinen Modus. Manche Lehrbücher sagen stattdessen, alle Werte seien Modi, aber die Aussage, dass es keinen Modus gibt, ist die üblichere Konvention.

Warum gibt man das Medianeinkommen statt des Durchschnittseinkommens an?

Einkommen sind stark rechtsschief: Eine kleine Zahl von Menschen mit sehr hohem Einkommen zieht den Mittelwert weit über das, was eine typische Person verdient. Der Median wird von der Höhe der Spitzeneinkommen nicht beeinflusst und bildet deshalb eine typische Person besser ab.

Kann eine Standardabweichung negativ sein?

Nein. Sie ist die Quadratwurzel aus einem Mittelwert quadrierter Abweichungen und daher immer null oder positiv. Null ist sie nur, wenn alle Werte gleich sind.

MathSolver Pro Editorial Team

Redaktion und mathematisches Lektorat

Unser Redaktionsteam schreibt jede Anleitung so, dass sie die Überlegung hinter jedem Verfahren erklärt und nicht nur die Antwort. Jedes Rechenbeispiel wird vor der Veröffentlichung mit den Lösungs-Engines der Website und durch automatische Tests geprüft, und die Artikel werden überarbeitet, sobald sich ein Verfahren oder das Format eines Tests ändert.