Rechner für die Standardabweichung — Stichprobe und Grundgesamtheit

Über den Rechner für die Standardabweichung

Die Standardabweichung misst, wie stark die Daten um den Mittelwert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen; eine große, dass sie weit verteilt sind.

Verwende die Formel für die Grundgesamtheit, wenn deine Daten alle Mitglieder der interessierenden Gruppe umfassen, und die Formel für die Stichprobe, die durch $n-1$ teilt, wenn die Daten eine Stichprobe sind, mit der eine größere Grundgesamtheit geschätzt wird.

Was misst die Standardabweichung?

Die Standardabweichung misst, wie weit eine Menge von Zahlen um ihren Mittelwert streut. Ist sie klein, liegen die Werte nah am Mittelwert; ist sie groß, sind sie weit verteilt. Zwei Klassen können in einer Klassenarbeit beide den Mittelwert 70 haben, aber wenn die eine die Standardabweichung 3 hat und die andere 15, waren die Ergebnisse der ersten einheitlich, während die zweite von Schülern mit Schwierigkeiten bis zu sehr guten Schülern reicht.

Sie wird aus den Abweichungen berechnet, also aus dem Abstand jedes Werts zum Mittelwert. Diese Abweichungen ergeben zusammen immer null: Deshalb werden sie quadriert, bevor man den Mittelwert bildet, was die Varianz ergibt. Zieht man die Wurzel aus der Varianz, kommt man zu den ursprünglichen Einheiten zurück: Die Standardabweichung von in Zentimetern gemessenen Körpergrößen wird ebenfalls in Zentimetern angegeben.

So benutzt du den Rechner für die Standardabweichung

Gib die Zahlen getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche ein oder füge sie ein.
Wähle Stichprobe oder Grundgesamtheit.
Klicke auf Berechnen, um Mittelwert, quadrierte Abweichungen, Varianz und Standardabweichung zu sehen.

Formeln

Standardabweichung der Grundgesamtheit

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Standardabweichung der Stichprobe

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Varianz eines Datensatzes

\sigma^2,\ s^2 = (\text{Standardabweichung})^2

Durchgerechnetes Beispiel: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (Stichprobe)

Das Rechenbeispiel behandelt 4, 8, 6, 5, 3, 7 als Stichprobe. Der Mittelwert ist $\frac{33}{6} = 5.5$ . Die Abweichungen sind $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , und die Summe ihrer Quadrate ist 17.5. Teilt man durch $n - 1 = 5$ , erhält man die Stichprobenvarianz 3.5, deren Wurzel die Standardabweichung der Stichprobe $s \approx 1.870828693$ ist. Zum Vergleich: Behandelt man dieselben sechs Zahlen als vollständige Grundgesamtheit, teilt man durch 6 und erhält $\sigma \approx 1.707825128$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

s = 1.870828693

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Die Daten werden als Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit behandelt (Bessel-Korrektur, Division durch n − 1).

Lösungsweg Schritt für Schritt

Mittelwert berechnen
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Jede Abweichung vom Mittelwert quadrieren
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Die quadrierten Abweichungen addieren
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Durch n − 1 teilen, um die Stichprobenvarianz zu erhalten
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Die Wurzel ziehen
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Verwendete Formeln

Standardabweichung der Stichprobe
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Standardabweichung der Grundgesamtheit
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

Die Standardabweichung misst, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen. Ein kleiner Wert bedeutet, dass die Daten nah am Mittelwert liegen.

Probe

Varianz = 3.5, und 1.870828693² = 3.5
Standardabweichung der Grundgesamtheit zum Vergleich: 1.707825128

Ausführliche Erklärung

Stichprobe oder Grundgesamtheit in der Praxis

Die beiden Formeln unterscheiden sich nur im Nenner, aber bei kleinen Datensätzen macht die Wahl einen Unterschied. Beziehen sich die Zahlen auf alle Mitglieder der interessierenden Gruppe, etwa die Noten aller 25 Schüler einer Klasse, verwendest du die Formel für die Grundgesamtheit mit $N$ . Sind sie eine Stichprobe, mit der die Streuung einer größeren Gruppe geschätzt wird, etwa 25 zufällig ausgewählte Schüler einer ganzen Schule, verwendest du die Formel für die Stichprobe mit $n - 1$ . Das zweite Beispiel des Rechners, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 als Grundgesamtheit, hat den Mittelwert 5, und die Summe der quadrierten Abweichungen ist 32, also ist $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Das Ergebnis deuten

Bei glockenförmigen Daten besagt die Faustregel, dass etwa 68% der Werte weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt liegen, etwa 95% weniger als zwei und etwa 99.7% weniger als drei. Ein Wert, der mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist, ist also ungewöhnlich. Teilt man den Abstand eines Werts zum Mittelwert durch die Standardabweichung, erhält man seinen z-Wert, mit dem sich Ergebnisse auf verschiedenen Skalen vergleichen lassen, etwa eine Note und eine Laufzeit.

Die Standardabweichung reagiert empfindlich auf Ausreißer, weil die Abweichungen quadriert werden, und ein einziger Extremwert kann sie stark aufblähen. Bei sehr schiefen Daten fasst der Interquartilsabstand die Streuung oft besser zusammen.

Häufige Fehler

Bei einer Stichprobe $n$ statt $n - 1$ verwenden, was die Streuung unterschätzt.
Vergessen, die Abweichungen zu quadrieren, sodass sich positive und negative Abweichungen zu null aufheben.
Die Varianz angeben, obwohl nach der Standardabweichung gefragt ist.
Den Mittelwert runden, bevor man die Abweichungen berechnet, was alle Quadrate verfälscht.
Die abschließende Wurzel vergessen und die Varianz als Standardabweichung angeben.

Tipps

Bei glockenförmigen Daten liegen etwa 68% der Werte weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt.
Die Standardabweichung hat dieselben Einheiten wie die Daten; die Varianz hat diese Einheiten im Quadrat.
Addiert man zu allen Werten eine Konstante, ändert sich die Standardabweichung nicht.
Addierst du zu allen Werten eine Konstante, bleibt die Standardabweichung gleich; multiplizierst du alle Werte mit $k$ , wird sie mit $|k|$ multipliziert.
Nutze den z-Wert-Rechner, um zu sehen, wie viele Standardabweichungen ein bestimmter Wert vom Mittelwert entfernt ist.

Häufige Fragen

Was ist die Standardabweichung?

Die Wurzel aus dem Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Sie gibt an, wie weit ein Wert typischerweise vom Mittelwert entfernt liegt.

Soll ich die Formel für die Stichprobe oder für die Grundgesamtheit verwenden?

Die für die Grundgesamtheit, wenn du die Daten der ganzen Gruppe hast. Die für die Stichprobe, wenn deine Daten eine Teilmenge sind, mit der eine größere Gruppe beschrieben werden soll, was der häufigere Fall ist.

Warum teilt die Formel für die Stichprobe durch n − 1?

Der Mittelwert der Stichprobe liegt näher an den Stichprobenwerten als der wahre Mittelwert, was die Abweichungen verkleinert. Die Division durch $n-1$ (Bessel-Korrektur) gleicht diesen Effekt aus und liefert eine erwartungstreue Schätzung der Varianz.

Kann die Standardabweichung null sein?

Ja, genau dann, wenn alle Werte gleich sind. Negativ kann sie nie sein.

Wie viele Werte braucht man?

Für die Standardabweichung der Grundgesamtheit genügt ein einziger Wert (sie ist dann 0). Die Formel für die Stichprobe verlangt mindestens zwei Werte.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen; die Standardabweichung ist ihre Wurzel, die das Maß in die Einheiten der Daten zurückbringt.

Was ist eine niedrige oder hohe Standardabweichung?

Eine allgemeingültige Grenze gibt es nicht; alles hängt von der Skala der Daten ab. Vergleiche sie mit dem Mittelwert oder verwende den Variationskoeffizienten $\frac{s}{\bar x}$ , um zu beurteilen, ob die Streuung im Verhältnis zu den typischen Werten groß ist.

Wie wirkt sich ein Ausreißer auf die Standardabweichung aus?

Stark, weil jede Abweichung quadriert wird. Ersetzt man im Beispiel die 7 durch 70, steigt die Standardabweichung der Stichprobe von etwa 1.87 auf über 26.

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