z-Wert-Rechner

Über den z-Wert-Rechner

Der z-Wert gibt an, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, gemessen in Standardabweichungen. Er bringt Noten aus verschiedenen Prüfungen, Körpergrößen aus verschiedenen Bevölkerungen oder Messungen in verschiedenen Einheiten auf eine gemeinsame Skala, damit du sie direkt vergleichen und sehen kannst, wie ungewöhnlich sie sind.

Dieser Rechner erledigt die sechs Aufgaben mit z-Werten, die im Statistikunterricht vorkommen: $z$ aus einem Wert berechnen, den Wert aus $z$ zurückgewinnen, die Fläche links oder rechts von $z$ bestimmen, die Fläche zwischen zwei z-Werten bestimmen und den z-Wert zu einem gegebenen Perzentil ermitteln. Die Flächen werden direkt aus der Standardnormalverteilung berechnet: Eine Tabelle ist nicht nötig.

Was ist ein z-Wert?

Für einen Wert $x$ aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ ist der z-Wert $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Ein z-Wert von 0 bedeutet, dass der Wert gleich dem Mittelwert ist; ein positiver z-Wert, dass er über dem Mittelwert liegt, und ein negativer, dass er darunter liegt.

Sind die Daten normalverteilt, gibt der z-Wert auch das Perzentil an. Die Fläche unter der Standardnormalverteilungskurve links von $z$ , geschrieben $\Phi(z)$ , ist der Anteil der Werte, die kleiner als $x$ sind.

So benutzt du den z-Wert-Rechner

Wähle die Rechnung: z-Wert aus x, Rohwert aus z, Fläche links, Fläche rechts, Fläche zwischen zwei Werten oder z-Wert zu einem Perzentil.
Gib die Angaben ein, die der Modus verlangt: x, den Mittelwert und die Standardabweichung; einen oder zwei z-Werte; oder ein Perzentil.
Perzentile kannst du als Dezimalzahl, zum Beispiel 0.95, oder als Prozentwert, zum Beispiel 95%, eingeben.
Klicke auf Berechnen.
Sieh dir den z-Wert oder die Fläche an, zusammen mit der Deutung als Perzentil.

Formeln

z-Wert

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Wert aus z

x = \mu + z\sigma

Fläche rechts

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Fläche zwischen zwei Werten

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Durchgerechnetes Beispiel: x = 85, μ = 70, σ = 10

Das Beispiel verwendet eine Punktzahl $x = 85$ in einer Klasse mit Mittelwert $\mu = 70$ und Standardabweichung $\sigma = 10$ . Zieht man den Mittelwert ab, erhält man 15, und teilt man durch die Standardabweichung, ergibt sich $z = 1.5$ : Die Punktzahl liegt anderthalb Standardabweichungen über dem Mittelwert.

Die Fläche links von $z = 1.5$ beträgt etwa 0.9332: Sind die Punktzahlen normalverteilt, war der Schüler besser als etwa 93.32% der Klasse.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

z = 1.5

So haben wir deine Aufgabe verstanden

z-Wert aus x, Mittelwert und Standardabweichung

Lösungsweg Schritt für Schritt

Den Mittelwert vom Wert abziehen
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Durch die Standardabweichung teilen
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Die Fläche links ablesen (Perzentil)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Verwendete Formeln

z-Wert
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 liegt 1.5 Standardabweichungen über dem Mittelwert; etwa 93.32% einer normalverteilten Grundgesamtheit liegen darunter.

Probe

Umgekehrt: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Ausführliche Erklärung

Flächen unter der Normalverteilungskurve ablesen

Die Gesamtfläche unter der Standardnormalverteilungskurve ist 1, und die Kurve ist symmetrisch um 0. Die Fläche links von $z = 1.25$ beträgt etwa 0.8944; die Fläche rechts von $z = 1.96$ beträgt etwa 0.025, und deshalb taucht 1.96 in 95%-Konfidenzintervallen auf. Die Fläche zwischen $-1$ und $1$ beträgt etwa 0.6827.

Aus diesen Flächen stammt die Faustregel: Etwa 68% der Werte einer Normalverteilung liegen weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, etwa 95% weniger als zwei und etwa 99.7% weniger als drei.

Der umgekehrte Weg: vom Perzentil zum z-Wert

Der Umkehrmodus löst $\Phi(z) = p$ . Für das 95. Perzentil liefert er $z \approx 1.645$ . Kombiniere ihn mit $x = \mu + z\sigma$ , um den Grenzwert zu bestimmen: Bei Mittelwert 70 und Standardabweichung 10 liegt das 95. Perzentil bei etwa $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

Der Modus „Wert aus z“ erledigt diesen zweiten Schritt direkt. Gibst du $z = 1.5$ mit demselben Mittelwert und derselben Standardabweichung ein, liefert er $x = 85$ und kehrt damit das Eingangsbeispiel um.

Werte auf verschiedenen Skalen vergleichen

Angenommen, ein Schüler erreicht 85 in einer Prüfung mit Mittelwert 70 und Standardabweichung 10, und ein anderer 620 in einer Prüfung mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 100. Ihre z-Werte sind 1.5 und 1.2: Das erste Ergebnis ist also relativ gesehen besser, auch wenn 620 nach einer größeren Zahl aussieht.

z-Werte helfen auch, Ausreißer zu erkennen: Werte mit $|z| > 3$ sind in einem Normalverteilungsmodell selten und verdienen eine zweite Prüfung. Beachte, dass die Deutung als Perzentil annähernd normalverteilte Daten voraussetzt; bei sehr schiefen Daten misst der z-Wert weiterhin den Abstand zum Mittelwert, aber die ermittelte Fläche kann in die Irre führen.

Häufige Fehler

In der falschen Reihenfolge subtrahieren; es heißt Wert minus Mittelwert, nicht Mittelwert minus Wert.
Durch die Varianz statt durch die Standardabweichung teilen.
Die Fläche links angeben, obwohl nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, einen Wert zu überschreiten.
Ein Perzentil als 95 statt als 95% oder 0.95 eingeben.
Perzentile der Normalverteilung auf eindeutig nicht normalverteilte Daten anwenden.

Tipps

Zeichne die Glockenkurve und markiere den gesuchten Bereich, bevor du rechnest.
Nutze die Symmetrie: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Merke dir die Referenzwerte 1.645, 1.96 und 2.576 für zweiseitige Intervalle zu 90%, 95% und 99%.
Hast du nur die Rohdaten, nutze zuerst den Rechner für die Standardabweichung.
Runde z-Werte erst ganz am Ende auf zwei Nachkommastellen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man einen z-Wert?

Ziehe den Mittelwert vom Wert ab und teile durch die Standardabweichung: z = (x − μ) ÷ σ. Für x = 85, μ = 70 und σ = 10 ist z = 1.5.

Was bedeutet ein negativer z-Wert?

Dass der Wert unter dem Mittelwert liegt. Ein z-Wert von −2 bedeutet, dass der Wert zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.

Wie rechnet man einen z-Wert in ein Perzentil um?

Bestimme die Fläche unter der Standardnormalverteilungskurve links von z. Für z = 1.5 beträgt die Fläche etwa 0.9332, also das 93. Perzentil.

Wie findet man den z-Wert zu einem Perzentil?

Wähle den Umkehrmodus und gib das Perzentil ein, zum Beispiel 95%. Der Rechner liefert z ≈ 1.645.

Was ist ein guter z-Wert?

Das hängt vom Zusammenhang ab. Werte zwischen −1 und 1 sind häufig; solche jenseits von ±2 sind ungewöhnlich, und solche jenseits von ±3 sind in einem Normalverteilungsmodell selten.

Brauche ich eine Tabelle der Normalverteilung?

Nein. Der Rechner ermittelt die Flächen der Normalverteilung direkt: Du erhältst genauere Werte als mit einer gedruckten Tabelle.

Warum lehnt der Rechner eine Standardabweichung von 0 ab?

Weil die Division durch null nicht definiert ist und eine Standardabweichung von 0 bedeutet, dass alle Werte gleich dem Mittelwert sind: Standardisieren ergibt in diesem Fall keinen Sinn.

Probier den z-Wert-Rechner aus

Gib einen Wert, den Mittelwert und die Standardabweichung oder ein Perzentil ein und erhalte z-Wert und Fläche mit jedem Schritt erklärt.

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