Kombinatorik-Rechner — Variationen nPr und Kombinationen nCr

Über den Rechner für Variationen und Kombinationen

Viele Abzählaufgaben laufen auf eine einzige Frage hinaus: Kommt es auf die Reihenfolge der ausgewählten Elemente an? Läufer auf das Siegertreppchen zu stellen, ist eine Variation, denn Gold-Silber-Bronze ist nicht dasselbe wie Bronze-Silber-Gold. Drei Personen für einen Ausschuss auszuwählen, ist eine Kombination, denn dieselben drei Personen bilden in jeder Reihenfolge denselben Ausschuss.

Dieser Rechner deckt die vier üblichen Fälle ab: Variationen und Kombinationen ohne Wiederholung, Variationen mit Wiederholung (etwa Zahlen-PINs) und Kombinationen mit Wiederholung (etwa Eiskugeln aus mehreren Sorten auswählen). Er arbeitet mit exakten ganzen Zahlen: Selbst riesige Anzahlen wie die Zahl der Pokerblätter erscheinen vollständig statt gerundet.

Was sind Variationen und Kombinationen?

Eine Variation ist eine geordnete Liste von $r$ Elementen, ausgewählt aus $n$ verschiedenen Elementen. Ihre Anzahl ist $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ , das Produkt der ersten $r$ Faktoren von $n!$ . Eine Kombination ist eine Auswahl ohne Reihenfolge, und ihre Anzahl ist $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Beide hängen zusammen: Jede Kombination aus $r$ Elementen lässt sich auf $r!$ Arten anordnen, also gilt $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . Der Rechner nutzt diese Identität, um jedes Ergebnis für nPr und nCr zu prüfen.

So benutzt du den Rechner für Variationen und Kombinationen

Wähle, was du abzählen möchtest: Kombinationen, Variationen, Variationen mit Wiederholung oder Kombinationen mit Wiederholung.
Gib die Gesamtzahl der Elemente n ein.
Gib die Anzahl der ausgewählten Elemente r ein.
Klicke auf Berechnen.
Sieh dir das Ergebnis, die verwendete Formel und die Schritte beim Kürzen an.

Formeln

Variationen

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Kombinationen

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Variationen mit Wiederholung

n^r

Kombinationen mit Wiederholung

\binom{n + r - 1}{r}

Durchgerechnetes Beispiel: C(10, 3)

Das Beispiel berechnet $C(10, 3)$ , die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Elemente aus 10 auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Zuerst zählen wir die geordneten Auswahlen: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Jede Dreiergruppe kommt in dieser Liste $3! = 6$ -mal vor, einmal für jede mögliche Reihenfolge, also ist $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . Die Probe bestätigt $120 \times 6 = 720$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

120

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Kombinationen nCr (ohne Beachtung der Reihenfolge)

Lösungsweg Schritt für Schritt

Formel für Kombinationen anwenden
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Die Variationen durch r! teilen, weil die Reihenfolge keine Rolle spielt
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Verwendete Formeln

Kombinationen nCr (ohne Beachtung der Reihenfolge)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Es gibt 120 Möglichkeiten, 3 Elemente aus 10 auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Probe

Probe: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Ausführliche Erklärung

Warum sich die Fakultäten kürzen

$\frac{n!}{(n-r)!}$ sieht aus, als bräuchte man riesige Zahlen, aber die meisten Faktoren kürzen sich weg. Bei $P(8, 3)$ bleibt nur $8 \times 7 \times 6 = 336$ : acht Möglichkeiten für den ersten Platz, sieben für den zweiten und sechs für den dritten. Der Rechner zeigt diese Abkürzung, statt die vollständigen Fakultäten auszurechnen.

Kombinationen streichen die $r!$ Reihenfolgen jeder Auswahl. Deshalb ist $C(n, r)$ immer kleiner oder gleich $P(n, r)$ , und deshalb gilt $C(n, r) = C(n, n - r)$ : Die $r$ Elemente auszuwählen, die du mitnimmst, ist dasselbe, wie die $n - r$ auszuwählen, die du zurücklässt.

Abzählen mit Wiederholung

Dürfen sich Elemente wiederholen und kommt es auf die Reihenfolge an, bietet jede der $r$ Positionen $n$ Möglichkeiten, was $n^r$ ergibt. Eine vierstellige Zahlen-PIN hat $10^4 = 10{,}000$ Möglichkeiten.

Dürfen sich Elemente wiederholen, spielt die Reihenfolge aber keine Rolle, liefert das Verfahren „Sterne und Striche“ $\binom{n + r - 1}{r}$ . 4 Eiskugeln aus 3 Sorten mit erlaubter Wiederholung kann man auf $\binom{6}{4} = 15$ Arten auswählen. In diesem Modus darf $r$ größer als $n$ sein.

Große Zahlen und Grenzfälle

Die Anzahl der Pokerblätter mit fünf Karten ist $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ , und der Rechner hält solche Ergebnisse dank Ganzzahlarithmetik exakt. Per Konvention ist $C(n, 0) = 1$ , weil es genau eine Möglichkeit gibt, nichts auszuwählen.

Ohne Wiederholung kann man nicht mehr Elemente auswählen, als vorhanden sind. Fragst du nach $C(3, 5)$ , schlägt eine klare Meldung einen Modus mit Wiederholung oder ein kleineres $r$ vor, statt eine sinnlose Null anzuzeigen.

Kombinationen und das pascalsche Dreieck

Die Werte $C(n, r)$ bilden das pascalsche Dreieck, in dem jede Zahl die Summe der beiden Zahlen direkt darüber ist: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Diese Beziehung hat eine kombinatorische Erklärung. Halte ein bestimmtes Element fest; jede Auswahl enthält es entweder, und dann sind noch $r - 1$ Elemente aus den $n - 1$ übrigen zu wählen, oder sie schließt es aus, und dann müssen alle $r$ Elemente aus den $n - 1$ übrigen gewählt werden.

Dieselben Zahlen sind die Koeffizienten in der Entwicklung des Binoms $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ , daher der Name Binomialkoeffizienten. Die Summe einer ganzen Zeile ist $2^n$ , die Gesamtzahl der Teilmengen einer Menge mit $n$ Elementen, denn jedes Element ist entweder drin oder nicht.

Häufige Fehler

Variationen verwenden, obwohl die Reihenfolge keine Rolle spielt, und dadurch um den Faktor $r!$ zu viel zählen.
Kombinationen für geordnete Listen wie PINs, Ranglisten oder Sitzordnungen verwenden.
Vergessen, dass Wiederholung die Formel komplett ändert.
Die vollständigen Fakultäten von Hand ausrechnen, statt zu kürzen, was Rechenfehler begünstigt.
Ein r größer als n wählen, obwohl sich die Elemente nicht wiederholen dürfen.

Tipps

Frag dich: „Bekomme ich ein anderes Ergebnis, wenn ich zwei ausgewählte Elemente vertausche?“ Wenn ja, nimm Variationen.
Nutze $C(n, r) = C(n, n - r)$ , um Rechnungen von Hand zu vereinfachen.
Zerlege komplexe Aufgaben in Stufen und multipliziere die Anzahlen der einzelnen Stufen.
Teile eine Anzahl durch die Gesamtzahl der möglichen Fälle, um daraus eine Wahrscheinlichkeit zu machen.
Nutze den Binomialmodus des Wahrscheinlichkeitsrechners, wenn du die Wahrscheinlichkeit für k Treffer statt einer bloßen Anzahl brauchst.
Schätze zuerst ab: Ist eine Anzahl von Kombinationen größer als die der entsprechenden Variationen, stimmt etwas nicht.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Variation und Kombination?

Eine Variation zählt geordnete Listen, eine Kombination zählt Auswahlen ohne Reihenfolge. 3 Elemente aus 10 auszuwählen, ergibt 720 Variationen, aber nur 120 Kombinationen.

Wie berechnet man nCr?

Verwende n! ÷ (r!(n − r)!). In der Praxis multiplizierst du die ersten r Faktoren von n! und teilst durch r!. Für C(10, 3) ergibt sich 720 ÷ 6 = 120.

Wie berechnet man nPr?

Multipliziere die ersten r Faktoren von n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Wie viele Pokerblätter mit fünf Karten gibt es?

C(52, 5) = 2,598,960, weil die Reihenfolge, in der du die Karten bekommst, keine Rolle spielt.

Was bedeutet „mit Wiederholung“?

Dass jedes Element mehr als einmal ausgewählt werden kann, wie die Ziffern einer Zahlen-PIN. Geordnete Auswahlen mit Wiederholung gibt es nʳ, ungeordnete C(n + r − 1, r).

Warum ist C(n, 0) gleich 1?

Weil es genau eine Möglichkeit gibt, kein Element auszuwählen: die leere Auswahl. Dieselbe Überlegung ergibt 0! = 1.

Darf r größer als n sein?

Nur wenn Wiederholung erlaubt ist. Ohne Wiederholung erklärt der Rechner, dass man nicht mehr Elemente auswählen kann, als vorhanden sind.

Probier den Rechner für Variationen und Kombinationen aus

Gib n und r ein und erhalte die exakte Anzahl, die Formel und das Kürzen der Fakultäten Schritt für Schritt.

Rechner verwenden Den KI-Löser fragen

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