Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung: eine praktische Einführung

Ergebnisse, Ereignisse und die Wahrscheinlichkeitsskala

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beginnt mit einem Zufallsexperiment, etwa einem Würfelwurf, und seinem Ergebnisraum, der Menge aller möglichen Ergebnisse. Für einen Wurf mit einem gewöhnlichen Würfel ist der Ergebnisraum $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Ein Ereignis ist eine beliebige Menge von Ergebnissen, etwa das Werfen einer geraden Zahl, also die Menge $\{2, 4, 6\}$.

Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1. Eine Wahrscheinlichkeit 0 bedeutet, dass das Ereignis unmöglich ist, 1, dass es sicher ist, und 0,5, dass es genauso wahrscheinlich eintritt wie nicht. Wahrscheinlichkeiten lassen sich als Brüche, Dezimalzahlen oder Prozentangaben schreiben: $\frac{1}{4}$, 0,25 und 25 Prozent bedeuten dasselbe. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ein einfaches Verhältnis:

Mit anderen Worten: die Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle, die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, ist also $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Mit zwei Würfeln gibt es $6 \times 6 = 36$ gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse, und sechs davon ergeben die Augensumme 7, nämlich (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1), also $P(\text{Summe} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Um Ergebnisse in größeren Aufgaben zu zählen, verwendet man die Techniken der Kombinatorik.

Die Regel vom Gegenereignis

Das Gegenereignis eines Ereignisses $A$ umfasst alles, was nicht in $A$ liegt. Da eines von beiden eintreten muss, addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1:

Immer wenn in einer Aufgabe „mindestens ein“ steht, probiere zuerst das Gegenereignis. Es macht aus einer langen Rechnung fast immer eine kurze.

Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung: A oder B

Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ oder $B$ eintritt oder beide, erhält man, indem man ihre Wahrscheinlichkeiten addiert und die des Schnitts abzieht, der sonst doppelt gezählt würde:

Zieht man eine Karte aus einem Spiel mit 52 Karten, ist die Wahrscheinlichkeit für ein Herz oder einen König $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, weil der Herzkönig zu beiden Gruppen gehört. Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können, etwa eine 2 und eine 5 beim selben Wurf, sind unvereinbar. Ihr Schnitt ist leer, ihre Wahrscheinlichkeiten addieren sich also einfach.

Die Wahrscheinlichkeit des Schnitts: A und B

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert, wie bei getrennten Münzwürfen. Bei unabhängigen Ereignissen wird multipliziert:

Zweimal Kopf bei zwei Würfen hat also die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Sind die Ereignisse abhängig, muss die zweite Wahrscheinlichkeit berücksichtigen, was bereits passiert ist. Zieht man zwei Karten ohne Zurücklegen, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, denn nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben nur 3 Asse unter 51 Karten übrig.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, geschrieben $P(A \mid B)$. Das Wissen, dass $B$ eingetreten ist, schränkt den Ergebnisraum auf $B$ ein:

Der Satz von Bayes kehrt eine bedingte Wahrscheinlichkeit um und macht aus $P(B \mid A)$ die Wahrscheinlichkeit $P(A \mid B)$. Seine berühmteste Anwendung zeigt, warum ein positiver medizinischer Test weniger beunruhigend sein kann, als er scheint.

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert eines Spiels oder einer Zufallsgröße ist das durchschnittliche Ergebnis auf lange Sicht; man erhält ihn, indem man jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und alles addiert:

Angenommen, ein Spiel zahlt 10 Dollar, wenn der Würfel eine Sechs zeigt, und kostet sonst 2 Dollar. Der Erwartungswert ist $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$: Das Spiel ist also fair, und nach vielen Runden kannst du damit rechnen, plus minus null auszusteigen. Casinospiele sind so gestaltet, dass der Erwartungswert für den Spieler leicht negativ ist, und so verdienen Casinos über Millionen von Einsätzen Geld, auch wenn manche Spieler gelegentlich gewinnen. Versicherungen folgen demselben Prinzip von der anderen Seite: Der Versicherer nimmt an Beiträgen etwas mehr ein, als er an Leistungen auszuzahlen erwartet.

Häufige Fallstricke

• Der Spielerfehlschluss: Nach fünfmal Rot in Folge bei einem fairen Roulette ist Schwarz nicht „fällig“. Jede Drehung ist unabhängig, die Wahrscheinlichkeit ändert sich also nicht.
• Wahrscheinlichkeiten sich überschneidender Ereignisse addieren, ohne den Schnitt abzuziehen, was Wahrscheinlichkeiten größer als 1 ergeben kann.
• Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen multiplizieren, die nicht unabhängig sind.
• $P(A \mid B)$ mit $P(B \mid A)$ verwechseln, wie im Beispiel des medizinischen Tests.
• Zufälle unterschätzen: In einer Gruppe von nur 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben, bei etwa 50,7 Prozent.

Das Gesetz der großen Zahlen erklärt, was die Wahrscheinlichkeit wirklich garantiert: Wird ein Experiment sehr oft wiederholt, stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses nahe seiner Wahrscheinlichkeit. Über eine kurze Folge von Ergebnissen verspricht es nichts. Der Wahrscheinlichkeitsrechner behandelt einfache, zusammengesetzte und bedingte Ereignisse Schritt für Schritt, und der Rechner für Variationen und Kombinationen zählt die Ergebnisse, die viele Wahrscheinlichkeitsaufgaben brauchen.

Baumdiagramme für mehrstufige Aufgaben

Läuft ein Experiment in mehreren Stufen ab, hilft ein Baumdiagramm, jeden Pfad im Blick zu behalten. Schreibe an jeden Ast seine Wahrscheinlichkeit, multipliziere entlang eines Pfads, um die Wahrscheinlichkeit der gesamten Abfolge zu erhalten, und addiere die Pfade, die das gesuchte Ereignis bilden.

Baumdiagramme machen die Pfadregeln sichtbar und zeigen deutlich, wo sich Wahrscheinlichkeiten von einer Stufe zur nächsten ändern. Sie sind auch der sicherste Weg, eine Aufgabe zum Satz von Bayes aufzustellen, weil jeder Ast der zweiten Stufe eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist.

Häufige Fragen