Standardabweichung berechnen (Stichprobe und Grundgesamtheit)

Was die Standardabweichung misst

Der Mittelwert zeigt, wo die Mitte eines Datensatzes liegt, aber nicht, wie eng die Werte um sie herum gruppiert sind. Die Standardabweichung schließt diese Lücke. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen; eine große, dass sie weit verstreut sind. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten: Eine Standardabweichung von 5 Zentimetern bei Körpergrößen bedeutet, dass eine typische Größe etwa 5 Zentimeter vom Mittelwert entfernt liegt.

Die Rechnung folgt einer einfachen Logik. Miss den Abstand jedes Werts zum Mittelwert, quadriere diese Abstände, damit sich Werte über und unter dem Mittelwert nicht aufheben, bilde den Mittelwert der Quadrate und ziehe zum Schluss die Quadratwurzel, um zur ursprünglichen Einheit zurückzukehren. Wenn du den Mittelwert selbst wiederholen möchtest, beginne mit Mittelwert, Median, Modus und Standardabweichung.

Die zwei Formeln

Es gibt zwei Versionen, je nachdem, ob deine Daten eine ganze Grundgesamtheit bilden oder eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit:

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit $\sigma$ teilt durch die Anzahl der Werte $N$. Die Stichprobenstandardabweichung $s$ teilt durch $n - 1$. Die Größe unter der Wurzel ist die Varianz, geschrieben $\sigma^2$ oder $s^2$. Die Varianz ist in der Theorie nützlich, aber ihre Einheit ist quadriert, etwa Quadratzentimeter, deshalb gibt man meist die Standardabweichung an.

Fünf Schritte von Hand

Eine Tabelle mit Spalten für $x$, $x - \bar{x}$ und $(x - \bar{x})^2$ hält die Arbeit übersichtlich. Eine nützliche Probe: Die Abweichungen in der zweiten Spalte ergeben in der Summe immer null. Tun sie das nicht, ist der Mittelwert falsch, und alles, was danach kommt, ebenfalls.

Warum teilt man bei einer Stichprobe durch n minus 1?

Wenn du mit einer Stichprobe arbeitest, kennst du den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit nicht: Deshalb misst du die Abweichungen vom Stichprobenmittelwert. Dieser Mittelwert ist aber konstruktionsbedingt genau der Punkt, der die Summe der quadrierten Abweichungen für diese konkrete Stichprobe so klein wie möglich macht. Die von ihm aus gemessenen Abweichungen sind daher im Durchschnitt etwas kleiner, als sie es vom wahren Mittelwert aus wären.

Teilt man durch $n - 1$ statt durch $n$, wird dieser Effekt ausgeglichen, und die Stichprobenvarianz wird zu einem erwartungstreuen Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit. Diese Anpassung heißt Bessel-Korrektur. Man kann sie auch über Freiheitsgrade sehen: Kennt man den Mittelwert und $n - 1$ der Abweichungen, ist die letzte festgelegt, weil ihre Summe null sein muss. Nur $n - 1$ Abweichungen tragen unabhängige Information.

Verwende in der Praxis die Stichprobenformel, es sei denn, deine Daten umfassen wirklich alle Mitglieder der Gruppe, die dich interessiert, etwa die Noten aller Schüler einer Klasse, wenn nur diese Klasse zählt.

Eine Kurzformel und Häufigkeitstabellen

Eine algebraisch gleichwertige Formel erspart es, jede Abweichung einzeln zu berechnen:

Für die Daten aus Beispiel 1 ist $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$, also $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$, wie zuvor. Diese Abkürzung geht von Hand schnell, aber Computer meiden sie bei großen oder sehr genauen Zahlen, weil das Subtrahieren zweier großer, fast gleicher Zahlen Genauigkeit kostet.

Wie man das Ergebnis deutet

Für Daten, die ungefähr einer glockenförmigen Normalverteilung folgen, liefert die empirische Regel eine konkrete Deutung der Standardabweichung: Etwa 68 Prozent der Werte liegen weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt, etwa 95 Prozent weniger als zwei und etwa 99,7 Prozent weniger als drei. Haben die Körpergrößen einer Gruppe Erwachsener einen Mittelwert von 170 Zentimetern und eine Standardabweichung von 8, dann sind etwa 95 Prozent der Gruppe zwischen 154 und 186 Zentimeter groß.

Für Daten beliebiger Form garantiert die Tschebyscheff-Ungleichung immer noch, dass mindestens 75 Prozent der Werte weniger als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegen und mindestens etwa 89 Prozent weniger als drei. Drückt man den Abstand eines Werts zum Mittelwert in Standardabweichungen aus, erhält man seinen z-Wert, mit dem sich Werte vergleichen lassen, die auf verschiedenen Skalen gemessen wurden.

Die Standardabweichung reagiert auch vorhersehbar auf Transformationen der Daten. Addiert man zu allen Werten dieselbe Konstante, verschiebt sich der Mittelwert, aber die Standardabweichung ändert sich nicht, da die Streuung gleich bleibt. Multipliziert man alle Werte mit einer Konstanten, wird die Standardabweichung mit dem Betrag dieser Konstanten multipliziert: Der Wechsel von Metern zu Zentimetern multipliziert sie also mit 100.

Mit Taschenrechner oder Tabellenkalkulation

Wissenschaftliche Taschenrechner haben meist zwei Tasten, oft mit $\sigma_x$ oder $\sigma_n$ für die Version der Grundgesamtheit und $s_x$ oder $\sigma_{n-1}$ für die Stichprobenversion beschriftet. In Tabellenkalkulationen wie Excel und Google Tabellen auf Deutsch berechnet STABW.N die Standardabweichung der Grundgesamtheit und STABW.S die der Stichprobe; die ältere Funktion STABW liefert ebenfalls den Stichprobenwert. Die falsche zu wählen, ist die häufigste Ursache für Ergebnisse, die nicht übereinstimmen.

Der Standardabweichungsrechner zeigt beide Versionen mit der vollständigen Tabelle der Abweichungen, ideal, um Hausaufgaben zu kontrollieren, die du von Hand gelöst hast. Der Rechner für Mittelwert, Median und Modus ergänzt die übrigen Kennzahlen, und der z-Wert-Rechner nutzt das Ergebnis, um einzelne Werte zu standardisieren.

Streuung über verschiedene Skalen vergleichen

Standardabweichungen lassen sich schwer vergleichen, wenn die Mittelwerte sehr unterschiedlich sind. Eine Standardabweichung von 2 Kilo ist für Neugeborene enorm, für ausgewachsene Elefanten aber winzig. Der Variationskoeffizient löst das Problem, indem er die Standardabweichung durch den Mittelwert teilt; er wird meist in Prozent angegeben. Zwei Geldanlagen mit durchschnittlichen Jahresrenditen von 6 und 9 Prozent und Standardabweichungen von 3 und 9 Prozentpunkten haben Variationskoeffizienten von 50 und 100 Prozent: Die zweite ist also im Verhältnis zu ihrer typischen Rendite doppelt so schwankungsanfällig.

Häufige Fehler

• Vergessen, die Abweichungen zu quadrieren, sodass sich positive und negative Werte aufheben und null ergeben.
• Die abschließende Quadratwurzel vergessen und stattdessen die Varianz angeben.
• Stichproben- und Grundgesamtheitsformel verwechseln oder die falsche Taste am Taschenrechner drücken.
• Den Mittelwert vor dem Berechnen der Abweichungen zu stark runden, wodurch sich Rundungsfehler anhäufen.
• Eine Häufigkeitstabelle so behandeln, als käme jeder Wert nur einmal vor.

Häufige Fragen