Rechner für Mittelwert, Median und Modus — mit Spannweite und Rechenweg

Über den Rechner für Mittelwert, Median und Modus

Mittelwert, Median und Modus sind drei Arten, die Mitte eines Datensatzes zu beschreiben. Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel, der Median ist der mittlere Wert, nachdem die Daten sortiert wurden, und der Modus ist der häufigste Wert. Die Spannweite, also der größte minus der kleinste Wert, gibt einen ersten Eindruck von der Streuung.

Jede Kennzahl reagiert anders auf ungewöhnliche Werte. Eine einzige sehr große Zahl zieht den Mittelwert nach oben, bewegt den Median aber kaum: Deshalb werden die beiden oft zusammen angegeben.

Was sind Mittelwert, Median und Modus?

Mittelwert, Median und Modus sind drei Lageparameter: drei verschiedene Antworten auf die Frage, was ein typischer Wert eines Datensatzes ist. Der Mittelwert ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert, nachdem die Daten sortiert wurden. Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Jeder drückt eine andere Vorstellung von „typisch“ aus, und sie stimmen nur überein, wenn die Daten vollkommen symmetrisch sind.

Die Spannweite, der größte minus der kleinste Wert, wird zusammen mit ihnen als erstes Maß für die Streuung der Daten angegeben. Zusammen bilden diese vier Zahlen eine schnelle Zusammenfassung, die oft schon reicht, um zwei Gruppen zu vergleichen oder einen auffälligen Wert zu entdecken.

So benutzt du den Rechner für Mittelwert, Median und Modus

Gib die Zahlen getrennt durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche ein.
Klicke auf Berechnen.
Sieh dir die sortierte Liste, die Summe und die Anzahl für den Mittelwert, die mittlere Position für den Median und die Häufigkeitszählung für den Modus an.

Formeln

Mittelwert

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}

Position des Medians

\text{Position} = \frac{n + 1}{2} \text{ in der sortierten Liste}

Spannweite

\text{Spannweite} = x_{\max} - x_{\min}

Durchgerechnetes Beispiel: 3, 7, 7, 2, 9, 4

Das Rechenbeispiel verwendet 3, 7, 7, 2, 9, 4. Sortiert lauten die Werte 2, 3, 4, 7, 7, 9. Ihre Summe ist 32, also ist der Mittelwert $\frac{32}{6} \approx 5.333333333$ . Bei sechs Werten gibt es zwei mittlere Werte, 4 und 7: Der Median ist also $\frac{4 + 7}{2} = 5.5$ . Der Wert 7 kommt zweimal vor und alle anderen nur einmal, also ist der Modus 7, und die Spannweite ist $9 - 2 = 7$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

Mittelwert = 5.333333333; Median = 5.5; Modus = 7; Spannweite = 7

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Lageparameter einer Zahlenliste.

Lösungsweg Schritt für Schritt

Daten der Größe nach aufsteigend sortieren
$2, 3, 4, 7, 7, 9\quad (n = 6)$
Mittelwert: Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen
$\bar{x} = \frac{32}{6} = 5.333333333$
Median: der mittlere Wert der sortierten Liste
Bei 6 Werten (gerade Anzahl) ist der Median der Mittelwert der Werte 3 und 4.
$\text{Median} = \frac{4 + 7}{2} = 5.5$
Modus: der Wert oder die Werte, die am häufigsten vorkommen
Am häufigsten: 7.
Spannweite: größter minus kleinster Wert
$9 - 2 = 7$

Verwendete Formeln

Mittelwert
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
Spannweite
$\text{Spannweite} = x_{\max} - x_{\min}$

Der Mittelwert gleicht alle Werte aus, der Median teilt die sortierten Daten in zwei Hälften und ist weniger anfällig für Ausreißer, und der Modus ist der häufigste Wert.

Probe

Summe 32 = Mittelwert × n = 5.333333333 × 6 = 32

Ausführliche Erklärung

Wie Ausreißer den Mittelwert verziehen

Der Mittelwert verwendet alle Werte: Ein einziger Extremwert genügt, um ihn zu verschieben. Wäre die 9 im Beispiel eine 90, stiege die Summe auf 113 und der Mittelwert spränge auf etwa 18.83, während der Median bei 5.5 bliebe, weil sich die Mitte der sortierten Liste nicht ändert. Deshalb geben Erhebungen zu Einkommen und Immobilienpreisen meist den Median an: Ein paar sehr hohe Werte würden den Mittelwert für einen typischen Haushalt wenig aussagekräftig machen.

Ist der Mittelwert deutlich größer als der Median, ist die Verteilung meist rechtsschief, mit einem langen Ausläufer hoher Werte; ist er kleiner, ist sie linksschief.

Wann man den Modus verwendet

Der Modus ist der einzige der drei, der sich auch für qualitative Daten eignet. Den Mittelwert von Turnschuhfarben oder Lieblingsfächern kann man nicht berechnen, aber man kann sagen, welche am häufigsten vorkommt. Bei Zahlen ist er nützlich, wenn sich Werte wiederholen, etwa um herauszufinden, welche Schuhgröße ein Schuhgeschäft zuerst vorrätig haben sollte. Ein Datensatz kann einen Modus haben, mehrere oder keinen, wenn alle Werte gleich oft vorkommen, und der Rechner weist ausdrücklich auf jeden dieser Fälle hin.

Häufige Fehler

Den Median suchen, ohne die Daten vorher zu sortieren.
Bei geradem $n$ einen der beiden mittleren Werte nehmen; der Median ist ihr Mittelwert.
Sagen, es gebe keinen Modus, wenn zwei Werte gleichauf liegen; der Datensatz ist dann bimodal.
Den mittleren Wert der unsortierten Liste für den Median halten.
Für den Mittelwert durch die Anzahl der verschiedenen Werte statt durch die Gesamtzahl teilen.

Tipps

Verwende den Median bei schiefen Daten wie Einkommen oder Immobilienpreisen.
Kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen Modus.
Der Mittelwert mal die Anzahl der Werte ergibt die Summe, was bei Aufgaben mit einem unbekannten Wert hilft.
Prüfe, ob der Mittelwert zwischen dem kleinsten und dem größten Wert liegt; wenn nicht, wurde ein Wert falsch eingegeben.
Multipliziere den Mittelwert mit der Anzahl der Werte, um die Summe zurückzugewinnen; das ist praktisch, wenn ein fehlender Wert gesucht ist.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Mittelwert?

Addiere alle Werte und teile durch ihre Anzahl. Für 3, 7, 7, 2, 9, 4 ist die Summe 32 und der Mittelwert $\frac{32}{6} \approx 5.33$ .

Wie berechnet man den Median bei einer geraden Anzahl von Werten?

Sortiere die Daten und bilde den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Für 2, 3, 4, 7, 7, 9 ist der Median $\frac{4 + 7}{2} = 5.5$ .

Kann ein Datensatz mehr als einen Modus haben?

Ja. Teilen sich mehrere Werte die größte Häufigkeit, sind alle Modi. Kommen alle Werte gleich oft vor, gibt es keinen Modus.

Welchen Lageparameter sollte man wählen?

Der Mittelwert nutzt alle Werte und passt zu symmetrischen Daten. Der Median ist robust gegenüber Ausreißern. Der Modus ist der einzige, der sich auch auf Kategorien anwenden lässt.

Akzeptiert der Rechner negative Zahlen und Dezimalzahlen?

Ja. Du kannst jede reelle Zahl eingeben und die Werte durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche trennen.

Wozu dient die Spannweite?

Sie ist das einfachste Streuungsmaß. Für ein robusteres Maß nutzt du den Standardabweichungsrechner.

Wie findet man über den Mittelwert einen fehlenden Wert?

Multipliziere den gewünschten Mittelwert mit der Anzahl der Werte, um die nötige Summe zu erhalten, und ziehe dann die Summe der bekannten Werte ab. Für einen Schnitt von 80 in fünf Tests nach 72, 85, 90 und 78 Punkten brauchst du $400 - 325 = 75$ .

Warum unterscheiden sich Mittelwert und Median?

Der Mittelwert wird von Extremwerten verzogen, während der Median nur von der Mitte der sortierten Liste abhängt. Ein Unterschied zwischen beiden deutet auf schiefe Daten oder Ausreißer hin.

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Gib deine Daten ein und erhalte Mittelwert, Median, Modus und Spannweite, mit erklärtem Sortieren und Abzählen.

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