Wahrscheinlichkeitsrechner

Über den Wahrscheinlichkeitsrechner

Die Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Die meisten Aufgaben aus Schulbüchern folgen ein paar Mustern: günstige Ergebnisse abzählen, unabhängige Ereignisse verknüpfen, auf eine bereits bekannte Information bedingen und Treffer bei wiederholten Versuchen zählen. Dieser Rechner behandelt alle vier.

Die Angaben können ganze Anzahlen sein, Dezimalzahlen wie 0.25, Brüche wie 1/4 oder Prozentwerte wie 25%. Wann immer möglich, erscheint die Antwort als exakter Bruch mit Dezimalwert und Prozentwert, damit du sie in der Form angeben kannst, die deine Lehrkraft oder dein Buch verlangt. Jeder Modus zeigt außerdem die Gegen- oder verwandten Wahrscheinlichkeiten, nach denen Aufgaben meist als Nächstes fragen.

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ die Anzahl der für $A$ günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Beim Werfen zweier Würfel gibt es 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse, und bei sechs davon ist die Augensumme 7, also ist $P(\text{Augensumme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

Wahrscheinlichkeiten folgen einigen Regeln: Sie liegen zwischen 0 und 1, die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ nicht eintritt, ist $1 - P(A)$ , und die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ oder $B$ eintritt, ist $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Die bedingte Wahrscheinlichkeit und die Binomialverteilung bauen direkt auf diesen Regeln auf.

So benutzt du den Wahrscheinlichkeitsrechner

Wähle den Aufgabentyp: ein einzelnes Ereignis, zwei unabhängige Ereignisse, bedingte Wahrscheinlichkeit oder Binomialverteilung.
Gib bei einem einzelnen Ereignis die Anzahl der günstigen Ergebnisse und die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Ergebnisse ein.
Gib bei unabhängigen Ereignissen P(A) und P(B) ein; bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit P(A und B) und P(B).
Gib bei einer Binomialaufgabe die Anzahl der Versuche n, die Trefferwahrscheinlichkeit p und die Anzahl der Treffer k ein, und lege fest, ob du genau, höchstens, weniger als, mindestens oder mehr als k willst.
Klicke auf Wahrscheinlichkeit berechnen und sieh dir die exakte Antwort, den Prozentwert und die begründenden Schritte an.

Formeln

Klassische Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

P(A) = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}

Unabhängige Ereignisse

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Binomialwahrscheinlichkeit

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Durchgerechnetes Beispiel: Zwei Würfel: P(Augensumme 7) = 6/36

Das Beispiel fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme zweier fairer Würfel 7 ist. Es gibt 6 günstige Ergebnisse, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1), von insgesamt 36, also ist $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , das heißt etwa 16.67%.

Der Rechner liefert auch das Gegenereignis, $1 - \frac16 = \frac56$ , also die Wahrscheinlichkeit für jede andere Augensumme, und die Chancen dafür, $6 : 30$ , die die günstigen Ergebnisse mit den ungünstigen statt mit allen vergleichen.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Einzelnes Ereignis (günstige ÷ mögliche)

Lösungsweg Schritt für Schritt

Anzahl der günstigen durch die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Ergebnisse teilen
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Gegenereignis: Das Ereignis tritt nicht ein
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Chancen dafür
$6 : 30$

Verwendete Formeln

Klassische Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)
$P(A) = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$
Gegenereignis
$P(A') = 1 - P(A)$

Das Ereignis tritt bei 6 von 36 gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ein, also ist seine Wahrscheinlichkeit 16.666667%; mit der Wahrscheinlichkeit 83.333333% tritt es nicht ein.

Ausführliche Erklärung

Unabhängige Ereignisse und Additionssatz

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen, dass eines eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert, wie bei zwei getrennten Münzwürfen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, das Produkt. Mit $P(A) = \frac12$ und $P(B) = 0.3$ treten beide mit der Wahrscheinlichkeit $0.15$ ein, mindestens eines mit $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ , genau eines mit $0.65 - 0.15 = 0.5$ und keines von beiden mit $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

Der Rechner prüft, dass $P(A \cup B) + P(\text{keines}) = 1$ gilt, eine nützliche Kontrolle, da diese beiden Fälle zusammen alle Ergebnisse abdecken.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit schränkt den Ergebnisraum auf die Ergebnisse ein, bei denen $B$ eingetreten ist, und fragt, wie oft $A$ in diesem kleineren Raum ebenfalls eintritt. Kaufen 12% der Kunden ein Handy und eine Hülle und 40% ein Handy, dann ist $P(\text{Hülle} \mid \text{Handy}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ : 30% derjenigen, die ein Handy kaufen, nehmen auch eine Hülle mit.

Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge kann nie größer als $P(B)$ sein, und $P(B)$ muss echt positiv sein; in beiden Fällen zeigt der Rechner einen Fehler an. Denk daran, dass $P(A \mid B)$ und $P(B \mid A)$ meist verschieden sind und dass der Satz von Bayes das Werkzeug ist, um von einer zur anderen zu kommen.

Binomialwahrscheinlichkeit

Ein Bernoulli-Experiment wiederholt $n$ unabhängige Versuche, jeder mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit $p$ . Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer multipliziert die Anzahl der Möglichkeiten, sie anzuordnen, $\binom{n}{k}$ , mit der Wahrscheinlichkeit einer beliebigen dieser Anordnungen. Für höchstens, mindestens, weniger als oder mehr als $k$ addiert der Rechner die entsprechenden Terme und gibt an, welche er addiert hat.

Die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen einer fairen Münze mindestens 8-mal Kopf zu werfen, beträgt zum Beispiel $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . Der Rechner gibt außerdem den Erwartungswert $np$ und die Standardabweichung $\sqrt{np(1-p)}$ der Verteilung an.

Häufige Fehler

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen multiplizieren, die nicht unabhängig sind.
$P(A)$ und $P(B)$ addieren, ohne die Schnittmenge abzuziehen, was eine Summe größer als 1 ergeben kann.
$P(A \mid B)$ mit $P(B \mid A)$ verwechseln.
Ergebnisse abzählen, die nicht gleich wahrscheinlich sind, etwa die Augensummen 2 bis 12 zweier Würfel so behandeln, als wären sie gleich wahrscheinlich.
Chancen mit Wahrscheinlichkeit verwechseln; Chancen von 1 : 5 entsprechen einer Wahrscheinlichkeit von $\frac16$ .

Tipps

Nutze bei Fragen der Art „mindestens eines“ das Gegenereignis: $1 - P(\text{keines})$ geht meist schneller.
Schreibe bei kleinen Aufgaben den Ergebnisraum auf oder zeichne ein Baumdiagramm, bevor du rechnest.
Schreibe die Wahrscheinlichkeiten als Brüche, um eine exakte Antwort zu erhalten.
Prüfe, ob alle Antworten zwischen 0 und 1 liegen.
Nutze den Rechner für Variationen und Kombinationen, um die Fälle abzuzählen, bevor du teilst.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

Teile die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Ergebnisse. Für die Augensumme 7 bei zwei Würfeln ergibt das 6 ÷ 36 = 1/6.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ereignisse eintreten?

Multipliziere ihre Wahrscheinlichkeiten. Mit P(A) = 0.5 und P(B) = 0.3 treten beide mit der Wahrscheinlichkeit 0.15 ein.

Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, P(A | B) = P(A und B) ÷ P(B). Betrachtet werden nur die Ergebnisse, bei denen B eintritt.

Wann verwendet man den Binomialmodus?

Wenn ein Zufallsexperiment eine feste Anzahl unabhängiger Versuche hat, jeder mit zwei möglichen Ergebnissen und derselben Trefferwahrscheinlichkeit, und du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern suchst.

Kann ich Prozentwerte oder Brüche eingeben?

Ja. Wahrscheinlichkeiten können als Dezimalzahl (0.25), Bruch (1/4) oder Prozentwert (25%) angegeben werden. Im Modus für ein einzelnes Ereignis müssen die Anzahlen ganze Zahlen sein.

Was ist der Unterschied zwischen Chancen und Wahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeit vergleicht die günstigen Ergebnisse mit allen Ergebnissen; die Chancen vergleichen die günstigen mit den ungünstigen. Eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 entspricht Chancen dafür von 1 : 5.

Wie berechnet man „mindestens“ bei einer Binomialaufgabe?

Wähle „P(X ≥ k) mindestens k“. Der Rechner addiert die Wahrscheinlichkeiten von k bis n und zeigt, welche Terme er addiert hat.

Probier den Wahrscheinlichkeitsrechner aus

Wähle den Aufgabentyp und erhalte die exakte Wahrscheinlichkeit, den Prozentwert und jeden Schritt erklärt.

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Was ist Wahrscheinlichkeit?

So benutzt du den Wahrscheinlichkeitsrechner

Formeln

Klassische Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

Unabhängige Ereignisse

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Binomialwahrscheinlichkeit

Durchgerechnetes Beispiel: Zwei Würfel: P(Augensumme 7) = 6/36

Ergebnis

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Lösungsweg Schritt für Schritt

Verwendete Formeln

Ausführliche Erklärung

Unabhängige Ereignisse und Additionssatz

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Binomialwahrscheinlichkeit

Häufige Fehler

Tipps

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Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

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