GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 1:49

Bestimme lim x→∞ (x² + 1)/(x + 1)

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
2. Schritt für Schritt
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1} = \lim_{x \to \infty} 2x$
  Kürzen
3. $\lim_{x \to \infty} 2x = \infty$
  Der Ausdruck wächst unbeschränkt
4. Ergebnis
3. Die Antwort
$\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{2}+1}{x+1} = \infty$
lim x→∞ (x² + 1) / (x + 1) = ∞
4. Probe
- Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) = 126.19841, f(1271.8281) = 1270.8297, f(12718.281) = 12717.281, f(127182.81) = 127181.81 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als Unendlichkeit (x hoch zwei plus 1)/(x plus 1). Bestimme den Grenzwert von (x hoch zwei plus 1) / (x plus 1) für x → ∞.

Schritt für Schritt. Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen. Der Ausdruck wächst unbeschränkt. Für x → ∞ nehmen die Werte unbeschränkt zu. Ergebnis. Die Funktion ist unbeschränkt, also ist der Grenzwert +∞ (streng genommen existiert der Grenzwert nicht als reelle Zahl; die Funktion divergiert gegen +∞).

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich ∞. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) gleich 126.19841, f(1271.8281) gleich 1270.8297, f(12718.281) gleich 12717.281, f(127182.81) gleich 127181.81, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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