GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:19

Bestimme lim x→∞ x⁴e^(-x)

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}}$
  Unbestimmter Ausdruck 0·∞ — als Quotient umschreiben
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
3. Schritte, Teil 2
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}$
  Kürzen
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}$
  Kürzen
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = 0$
  Beschränkter Zähler über einem unbeschränkten Nenner
4. Die Antwort
$\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = 0$
lim x→∞ x⁴ e^(-x) = 0
5. Probe
- Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als Unendlichkeit x hoch 4e hoch minus x. Bestimme den Grenzwert von x hoch 4 e hoch minus x für x → ∞.

Schritte, Teil 1. Unbestimmter Ausdruck 0 mal ∞ — als Quotient umschreiben. Bringt man einen Faktor als Kehrwert in den Nenner, wird aus 0 mal ∞ ein 0 durch 0 oder ∞/∞. Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel).

Schritte, Teil 2. Kürzen. Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen. Beschränkter Zähler über einem unbeschränkten Nenner. Der Zähler nähert sich 24 und der Nenner wächst über alle Grenzen, also nähert sich der Quotient 0.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich 0. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) gleich 0, f(1271.8281) gleich 0, f(12718.281) gleich 0, f(127182.81) gleich 0, das stimmt.

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