Trigonometrische IdentitätenTrigonometrieOberstufe≈ 1:13

Ist 1 + tan(x)² = sec(x)² eine Identität?

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$1+{\tan\left( x\right)}^{2} = {\sec\left( x\right)}^{2}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
  Alles durch sin x und cos x ausdrücken
2. $\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
  Linke Seite mit Sinus und Kosinus
3. $\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
  Rechte Seite mit Sinus und Kosinus
4. $\text{linke Seite} - \text{rechte Seite} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
  Die Seiten subtrahieren und die Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen
3. Schritte, Teil 2
1. $N = 0$
  Jedes cos²x durch 1 − sin²x ersetzen und zusammenfassen
2. Der Zähler ist identisch null
4. Die Antwort
$1+{\tan\left( x\right)}^{2} \equiv {\sec\left( x\right)}^{2}$
LHS − RHS reduces to 0
5. Probe
- Numerische Stichprobe an 10 Testwerten: Beide Seiten stimmen überein.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ist 1 plus tan(x) hoch zwei gleich sec(x) hoch zwei eine Identität? Eine trigonometrische Identität beweisen.

Schritte, Teil 1. Alles durch sin x und cos x ausdrücken. Verwendete Identitäten:. Linke Seite mit Sinus und Kosinus. Rechte Seite mit Sinus und Kosinus. Die Seiten subtrahieren und die Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die Identität gilt genau dann, wenn dieser Zähler für jeden Wert der Variablen null ist.

Schritte, Teil 2. Jedes cos hoch zweix durch 1 minus sin hoch zweix ersetzen und zusammenfassen. Der Zähler ist identisch null. Nach Anwendung von sin hoch zwei plus cos hoch zwei gleich 1 heben sich alle Terme auf, also sind beide Seiten überall gleich, wo sie definiert sind.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Identität ist wahr (für jeden Wert, für den beide Seiten definiert sind). Nachdem beide Seiten mit Sinus und Kosinus geschrieben und cos hoch zwei durch 1 minus sin hoch zwei ersetzt wurde, ist die Differenz der beiden Seiten genau 0; also gilt 1 plus tan(x) hoch zwei gleich sec(x) hoch zwei für jedes x, für das beide Seiten definiert sind.

Probe. Numerische Stichprobe an 10 Testwerten: Beide Seiten stimmen überein.

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