Trigonometrische IdentitätenTrigonometrieOberstufe≈ 1:30

Ist cos(2x) = 2cos(x) eine Identität?

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: Dies ist keine Identität: die beiden Seiten sind nicht für alle Werte gleich..

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\cos\left(2x\right) = 2\cos\left( x\right)$
2. Schritte, Teil 1
1. $\sin(2x) = 2\sin x\cos x,\quad \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
  Alles durch sin x und cos x ausdrücken
2. $-2\sin^{2} x + 1$
  Linke Seite mit Sinus und Kosinus
3. $2\cos x$
  Rechte Seite mit Sinus und Kosinus
4. $\text{linke Seite} - \text{rechte Seite} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2\cos x$
  Die Seiten subtrahieren und die Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen
3. Schritte, Teil 2
1. $N = -2\sin^{2} x - 2\cos x + 1$
  Jedes cos²x durch 1 − sin²x ersetzen und zusammenfassen
2. Der Zähler ist nicht null, also sind die Seiten nicht identisch
4. Die Antwort
$\cos\left(2x\right) \not\equiv 2\cos\left( x\right)$
LHS − RHS numerator = -2·sin^2(x) - 2·cos(x) + 1
5. Probe
- Bei x = 30° ist die linke Seite ≈ 0.5, aber die rechte Seite ≈ 1.732050808.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ist cos(2x) gleich 2cos(x) eine Identität? Eine trigonometrische Identität beweisen.

Schritte, Teil 1. Alles durch sin x und cos x ausdrücken. Verwendete Identitäten:. Linke Seite mit Sinus und Kosinus. Rechte Seite mit Sinus und Kosinus. Die Seiten subtrahieren und die Differenz auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die Identität gilt genau dann, wenn dieser Zähler für jeden Wert der Variablen null ist.

Schritte, Teil 2. Jedes cos hoch zweix durch 1 minus sin hoch zweix ersetzen und zusammenfassen. Der Zähler ist nicht null, also sind die Seiten nicht identisch. Bei x gleich 30° ist die linke Seite ungefähr 0.5, aber die rechte Seite ungefähr 1.732050808.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Dies ist keine Identität: die beiden Seiten sind nicht für alle Werte gleich. Die Differenz der Seiten reduziert sich nicht auf 0. Bei x gleich 30° ist die linke Seite ungefähr 0.5, aber die rechte Seite ungefähr 1.732050808. Die Gleichung kann für bestimmte Werte dennoch wahr sein; löse sie als Gleichung, um diese zu finden.

Probe. Bei x gleich 30° ist die linke Seite ungefähr 0.5, aber die rechte Seite ungefähr 1.732050808.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen