Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:19

Löse 2cos(x) + 1 = 0

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = 2π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk (k beliebige ganze Zahl).

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$2~\cos\left( x\right)+1 = 0$
2. Schritte, Teil 1
1. $2~\cos\left( x\right)+1 = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $f(x) = 2~\cos\left( x\right)+1 = 0$
  Umschreiben als f(x) = 0
3. Die linke Seite wiederholt sich alle 2π, also die Lösungen in einer Periode bestimmen
4. $x = \frac{2\pi}{3},\ x = \frac{4\pi}{3}$
  Lösungen in einer Periode [0, 2π)
3. Schritte, Teil 2
1. $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$
  Beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode addieren
4. Die Antwort
$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
x = 2π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk (k any integer)
5. Probe
- x = 2.0943951: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = 4.1887902: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: 2cos(x) plus 1 gleich 0. Eine periodische Gleichung in x: sie hat unendlich viele Lösungen, eine Familie für jede Lösung innerhalb einer Periode.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Umschreiben als f(x) gleich 0. Die linke Seite wiederholt sich alle 2pi, also die Lösungen in einer Periode bestimmen. f(x plus 2pi) gleich f(x) für jedes x, also ist jede Lösung eine der Lösungen in [0, 2pi) plus eine ganze Anzahl von Perioden. Lösungen in einer Periode [0, 2pi).

Schritte, Teil 2. Beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 2pi/3 plus 2pik, x gleich 4pi/3 plus 2pik (k beliebige ganze Zahl). Jede Lösung in einer Periode wurde numerisch gefunden, einem exakten Wert zugeordnet und durch Einsetzen bestätigt; das Addieren ganzer Perioden ergibt alle Lösungen.

Probe. x gleich 2.0943951: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 4.1887902: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen