PolynomgleichungenAlgebraHochschule≈ 1:33

Löse 2x⁴ - 5x³ + 3x² - 6x - 6 = 0

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$2~{ x}^{4}-5~{ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-6 = 0$
2. Schritt für Schritt
1. $2~{ x}^{4}-5~{ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-6 = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $2x^{4} - 5x^{3} + 3x^{2} - 6x - 6 = 0$
  Alle Terme auf eine Seite bringen
3. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 4 Nullstellen numerisch annähern
4. $x = -0.59885094,\quad x = 2.5530165$
  Die reellen Lösungen sammeln
3. Am Graphen
Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
4. Die Antwort
$x = -0.59885094,\ x = 2.5530165$
x = -0.59885094, x = 2.5530165
5. Probe
- x = -0.59885094: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = 2.5530165: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: 2x hoch 4 minus 5x hoch drei plus 3x hoch zwei minus 6x minus 6 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 4 in x.

Schritt für Schritt. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 4 Nullstellen numerisch annähern. Das Durand-Kerner-Verfahren iteriert alle Nullstellen gleichzeitig, bis sie sich nicht mehr ändern. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 0.59885094, x gleich 2.5530165; komplex: 0.27291722 plus minus 1.3739511i. Ein Polynom 4. Grades hat genau 4 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gefunden, dann der Rest exakt gelöst oder angenähert.

Probe. x gleich minus 0.59885094: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 2.5530165: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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