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Aufgabe lösen
Quadratische GleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:29

Löse 3x² + 2x + 1 = 0

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = (-1 - √2·i)/3 oder x = (-1 + √2·i)/3.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    3 x2+2 x+1=03~{ x}^{2}+2~ x+1 = 0
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. 3 x2+2 x+1=03~{ x}^{2}+2~ x+1 = 0
      Von der Gleichung ausgehen
    2. 3x2+2x+1=03x^{2} + 2x + 1 = 0
      Alle Terme auf eine Seite bringen, um die allgemeine Form zu erhalten
    3. Δ=b2−4ac=22−4⋅3⋅1=−8\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8
      Die Diskriminante berechnen
    4. Δ < 0, also gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. x=−2±−86=−2±22 i6x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}\,i}{6}
      Die Mitternachtsformel mit √(−1) = i anwenden
    2. x=−1±2 i3x = \frac{-1 \pm \sqrt{2}\,i}{3}
      Kürzen
  4. 4. Die Antwort
    x1=−1−2 i3,x2=−1+2 i3x_1 = \frac{-1 - \sqrt{2}\,i}{3},\quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{2}\,i}{3}

    Δ = -8; x = (-1 - √2·i)/3 or x = (-1 + √2·i)/3

  5. 5. Probe
    • Satz von Vieta: Summe der Lösungen = -0.66666667 = −b/a = -0.66666667; Produkt = 0.33333333 = c/a = 0.33333333

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: 3x hoch zwei plus 2x plus 1 gleich 0. Quadratische Gleichung in x: mit der Mitternachtsformel lösen.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen, um die allgemeine Form zu erhalten. Die Diskriminante berechnen. delta kleiner als 0, also gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex.

Schritte, Teil 2. Die Mitternachtsformel mit die Wurzel aus minus 1 gleich i anwenden. Kürzen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich (minus 1 minus die Wurzel aus 2 mal i/3 oder x gleich (minus 1 plus die Wurzel aus 2 mal i/3. Die Diskriminante ist negativ, daher gibt es keine reellen Lösungen; die Lösungen sind ein Paar komplex konjugierter Zahlen.

Probe. Satz von Vieta: Summe der Lösungen gleich minus 0.66666667 gleich minus b/a gleich minus 0.66666667; Produkt gleich 0.33333333 gleich c/a gleich 0.33333333.

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