PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:22

Löse x³ - 27 = 0

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
${ x}^{3}-27 = 0$
2. Schritte, Teil 1
1. ${ x}^{3}-27 = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $x^{3} - 27 = 0$
  Alle Terme auf eine Seite bringen
3. $x^{2} + 3x + 9 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 3 ist eine Nullstelle
4. $x^{2} + 3x + 9 = 0$
  Die verbleibende quadratische Gleichung lösen
3. Schritte, Teil 2
1. $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -27$
  Die Diskriminante berechnen
2. Δ < 0, also gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex
3. $x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}$
  Die Mitternachtsformel mit √(−1) = i anwenden
4. $x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}$
  Kürzen
4. Schritte, Teil 3
1. $x = 3$
  Die reellen Lösungen sammeln
5. Am Graphen
Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
6. Die Antwort
$x = 3$
x = 3
7. Probe
- x = 3: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch drei minus 27 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 3 in x.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 3 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 3) lässt ein Polynom vom Grad 2 übrig. Die verbleibende quadratische Gleichung lösen.

Schritte, Teil 2. Die Diskriminante berechnen. delta kleiner als 0, also gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex. Die Mitternachtsformel mit die Wurzel aus minus 1 gleich i anwenden. Kürzen.

Schritte, Teil 3. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 3; komplex: minus 1.5 plus minus 2.5980762i. Ein Polynom vom Grad 3 hat genau 3 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gesucht, danach werden die übrigen exakt berechnet oder angenähert.

Probe. x gleich 3: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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