PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 2:02

Löse x⁵ - 5x³ + 4x = 0

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
${ x}^{5}-5~{ x}^{3}+4~ x = 0$
2. Schritte, Teil 1
1. ${ x}^{5}-5~{ x}^{3}+4~ x = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $x^{5} - 5x^{3} + 4x = 0$
  Alle Terme auf eine Seite bringen
3. $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 0 ist eine Nullstelle
4. $x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -2 ist eine Nullstelle
3. Schritte, Teil 2
1. $x^{2} - 3x + 2 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -1 ist eine Nullstelle
2. $x - 2 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 1 ist eine Nullstelle
3. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 2 ist eine Nullstelle
4. $x = -2,\quad x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1,\quad x = 2$
  Die reellen Lösungen sammeln
4. Die Antwort
$x = -2,\ x = -1,\ x = 0,\ x = 1,\ x = 2$
x = -2, x = -1, x = 0, x = 1, x = 2
5. Probe
- x = -2: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = -1: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = 0: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = 1: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch 5 minus 5x hoch drei plus 4x gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 5 in x.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 0 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 0) lässt ein Polynom vom Grad 4 übrig. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 2 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 2) lässt ein Polynom vom Grad 3 übrig.

Schritte, Teil 2. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 1 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 1) lässt ein Polynom vom Grad 2 übrig. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 1 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 1) lässt ein Polynom vom Grad 1 übrig. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 2 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 2) lässt ein Polynom vom Grad 0 übrig. Die reellen Lösungen sammeln.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 2, x gleich minus 1, x gleich 0, x gleich 1, x gleich 2. Ein Polynom 5. Grades hat genau 5 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gefunden, dann der Rest exakt gelöst oder angenähert.

Probe. x gleich minus 2: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich minus 1: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 0: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 1: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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