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Resolver un problema
Integrales indefinidasCálculoUniversidad≈ 1:01

Calcular ∫ eˣ cos(x) dx

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.4 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
  2. 2. Paso a paso
    1. ∫excos⁡(x) dx\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx
      Partir de la integral
    2. ∫eaxcos⁡bx dx=eax(acos⁡bx+bsin⁡bx)a2+b2\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}
      Integrar por partes dos veces
    3. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2}
      Exponencial × trigonométrica (por partes dos veces)
    4. ∫excos⁡(x) dx=ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\int {e}^{x} \cos\left( x\right)\,dx = \frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C
      Simplificar y añadir la constante de integración
  3. 3. La respuesta
    ex(cos⁡(x)+sin⁡(x))2+C\frac{{e}^{x} \left(\cos\left( x\right)+\sin\left( x\right)\right)}{2} + C

    ∫ e^x cos(x) dx = e^x·(cos(x) + sin(x)) / 2 + C

  4. 4. Comprobación
    • Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: la integral de e elevado a x cos(x) dx. Calcular la integral indefinida (primitiva) de e elevado a x cos(x) respecto de x.

Paso a paso. Partir de la integral. Integrar por partes dos veces. Integrar por partes dos veces devuelve la integral original I, así que I es igual a e^ ax (a cos bx más b sin bx)/(a al cuadrado más b al cuadrado) con un es igual a 1, b es igual a 1. Exponencial por trigonométrica (por partes dos veces). Simplificar y añadir la constante de integración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es e elevado a x por (cos(x) más sin(x)) / 2 más C. Una primitiva F cumple F prima de x es igual a f(x). Como la derivada de cualquier constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

Comprobación. Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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