Guías que explican el método que hay detrás de los problemas más habituales, con ejemplos resueltos que puedes comprobar en las calculadoras.
Álgebra
Una ecuación lineal se resuelve deshaciendo, en orden inverso, lo que se le ha hecho a la incógnita, sin dejar de mantener iguales los dos miembros. Esta guía convierte esa idea en una rutina de cinco pasos y resuelve todas las variantes habituales.
Álgebra
La factorización es lo más rápido cuando funciona, completar el cuadrado explica de dónde sale la fórmula y la fórmula general funciona siempre. Así se elige, con todos los ejemplos comprobados.
Álgebra
Factorizar es multiplicar al revés. Sigue siempre la misma lista de pasos, empezando por el factor común, y casi cualquier polinomio de álgebra se podrá descomponer en factores sencillos.
Álgebra
Un sistema de ecuaciones pide valores que cumplan todas las ecuaciones a la vez. La sustitución y la reducción sirven para cualquier sistema lineal; el arte está en elegir el que exige menos cuentas.
Álgebra
Simplificar es reescribir una expresión de forma equivalente y más corta, sin cambiar su valor para ningún valor permitido. Unas pocas reglas, aplicadas en un orden razonable, cubren casi todos los casos.
Álgebra
Las inecuaciones se resuelven casi igual que las ecuaciones, con una regla adicional y un tipo de respuesta distinto: un conjunto de valores en lugar de un único número. Esta guía cubre todos los tipos habituales.
Álgebra
Completar el cuadrado reescribe $x^2 + bx$ como un cuadrado perfecto menos una constante. Resuelve cualquier ecuación de segundo grado, da el vértice de una parábola, produce la fórmula general y reaparece en las circunferencias y en el cálculo.
Precálculo
Un logaritmo responde a una sola pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener este número? Todas las reglas y técnicas de esta guía se derivan de esa única idea.
Precálculo
El dominio es el conjunto de entradas que admite una función; el recorrido es el conjunto de salidas que puede producir. Hallar el dominio consiste en buscar las entradas prohibidas, y hallar el recorrido, en preguntarse qué salidas se alcanzan realmente.
Precálculo
Componer funciones significa introducir la salida de una función en otra. Así se construyen fórmulas complicadas a partir de piezas sencillas, y reconocer esas piezas es imprescindible para las funciones inversas y para la regla de la cadena en cálculo.
Precálculo
Una función inversa deshace lo que hace la función original. Si $f$ lleva el 2 al 7, su inversa devuelve el 7 al 2. Esta guía explica cuándo existe una inversa, cómo hallar su fórmula y cómo comprobarla.
Precálculo
Los polinomios son las funciones más sencillas después de las rectas y las parábolas, y sus gráficas siguen unas pocas reglas fiables. Si conoces el grado, el coeficiente principal y las raíces, puedes esbozar a mano casi cualquier polinomio.
Trigonometría
La circunferencia unidad convierte la trigonometría, que parecía una lista de datos que memorizar, en un dibujo que se puede leer. Cada ángulo corresponde a un punto de la circunferencia, y las coordenadas de ese punto son el coseno y el seno del ángulo.
Trigonometría
Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todo ángulo en el que ambos miembros están definidos. Una lista breve de identidades, todas construidas a partir de la circunferencia unidad, permite simplificar expresiones, hallar valores exactos, demostrar resultados y resolver ecuaciones.
Trigonometría
El teorema del seno dice que, en cualquier triángulo, cada lado dividido entre el seno de su ángulo opuesto da el mismo número. Permite resolver triángulos cuando conoces dos ángulos y un lado y, con cuidado, cuando conoces dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Trigonometría
El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo. Permite hallar el tercer lado cuando conoces dos lados y el ángulo que forman, y cualquier ángulo cuando conoces los tres lados.
Trigonometría
Resolver un triángulo es hallar sus tres lados y sus tres ángulos a partir de los datos conocidos. La herramienta que hay que usar depende de qué tres elementos conoces, así que el primer paso siempre es identificar el caso.
Cálculo
Un límite describe el valor al que se acerca una función cuando su variable se acerca a un número, tanto si la función llega a alcanzar ese valor como si no. Los límites son la base de las derivadas, las integrales y las series infinitas, así que calcularlos con soltura es la primera destreza real del cálculo.
Cálculo
La derivada de una función mide lo rápido que cambia su valor cuando cambia la variable, en un instante concreto. Gráficamente es la pendiente de la recta tangente; algebraicamente es el límite de las tasas de variación media en intervalos cada vez más pequeños.
Cálculo
Calcular derivadas a partir de la definición por límites es lento. Un pequeño conjunto de reglas, cada una demostrada una sola vez a partir de esa definición, permite derivar casi cualquier fórmula en unas pocas líneas. Esta guía explica cada regla, por qué funciona y cómo combinarlas.
Cálculo
Una integral suma infinitas piezas diminutas para obtener un total: un área, una distancia, un volumen o cualquier magnitud acumulada. El teorema fundamental del cálculo relaciona este proceso de suma con las primitivas, y eso es lo que hace que las integrales se puedan calcular en la práctica.
Cálculo
Una integral indefinida es una familia de funciones, las primitivas, que se escribe con una constante $+ C$. Una integral definida tiene límites de integración y da un único número, un área con signo o un total acumulado. El teorema fundamental del cálculo permite calcular la segunda a partir de la primera.
Cálculo
La derivación implícita halla dy/dx en curvas definidas por una ecuación en x e y, sin despejar antes la y. Se derivan ambos miembros respecto de x, se trata y como función de x para poder aplicar la regla de la cadena y después se despeja dy/dx.
Cálculo
Una serie de Taylor reescribe una función como un polinomio infinito construido a partir de sus derivadas en un único punto. Si se corta la serie tras unos pocos términos se obtiene un polinomio de Taylor, una aproximación fácil de calcular cuyo error se puede acotar.
Cálculo
Una serie infinita converge cuando sus sumas parciales se acercan a un número finito. En lugar de calcular ese número, los criterios de convergencia deciden si existe, y cada uno se adapta a una forma concreta de término general. La verdadera habilidad consiste en saber qué criterio encaja con cada serie.
Álgebra lineal
Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Las matrices almacenan datos de forma compacta y, sobre todo, representan transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Esta guía trata la notación y las operaciones fundamentales, con especial atención a la multiplicación de matrices.
Álgebra lineal
El determinante es un único número que se calcula a partir de una matriz cuadrada. Indica si la matriz es invertible, cómo escala áreas y volúmenes y si invierte la orientación. Esta guía muestra todos los métodos habituales para calcularlo, con ejemplos resueltos.
Álgebra lineal
La inversa de una matriz cuadrada deshace lo que hace la matriz, igual que dividir deshace multiplicar. Una matriz tiene inversa exactamente cuando su determinante no es nulo. Esta guía explica la fórmula rápida para matrices de 2 por 2, el método general de Gauss-Jordan y cómo las inversas resuelven sistemas de ecuaciones.
Álgebra lineal
Un vector propio de una matriz es una dirección que la matriz solo estira o invierte, sin girarla nunca, y el valor propio es el factor de estiramiento. Revelan el comportamiento esencial de una matriz y son la base de la diagonalización, el análisis de estabilidad, las cadenas de Markov y la compresión de datos.
Álgebra lineal
El producto escalar combina dos vectores en un único número que mide cuánto apuntan en la misma dirección. Es la herramienta para hallar ángulos entre vectores, comprobar si son perpendiculares, proyectar un vector sobre otro y calcular el trabajo en física.
Álgebra lineal
El producto vectorial multiplica dos vectores en el espacio tridimensional y devuelve un nuevo vector perpendicular a ambos. Su longitud es igual al área del paralelogramo que determinan los dos vectores, lo que lo convierte en la herramienta habitual para vectores normales, áreas, momentos de fuerzas y volúmenes.
Estadística
La media, la mediana y la moda describen el centro de un conjunto de datos, mientras que el rango y la desviación típica describen cuánto se dispersan. Saber calcular cada una, y cuándo ofrece un resumen honesto, es la base de la estadística.
Estadística
La desviación típica mide cuánto se alejan normalmente los datos de su media. Esta guía recorre el cálculo paso a paso, explica cuándo dividir entre n y cuándo entre n menos 1, y enseña a interpretar el resultado una vez obtenido.
Estadística
La probabilidad mide lo verosímil que es un suceso en una escala de 0 a 1. Unas pocas reglas, para el suceso contrario, la unión, los sucesos independientes y dependientes y la probabilidad condicionada, resuelven la mayoría de los problemas, y conocer las trampas clásicas evita la mayoría de los errores.
Estadística
Una puntuación z indica a cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media está un valor. Permite comparar valores medidos en escalas distintas y, si los datos siguen una distribución normal, convertir cualquier valor en un percentil o una probabilidad.
Estadística
Las permutaciones cuentan ordenaciones en las que importa el orden, y las combinaciones cuentan selecciones en las que no importa. Ambas nacen del principio fundamental del conteo y de los factoriales, y sostienen cálculos de probabilidad que van desde los juegos de cartas hasta las loterías.
Guías de estudio
Las matemáticas se aprenden haciendo, no leyendo. Sesiones cortas y regulares de resolución activa de problemas, espaciadas en el tiempo y mezclando temas, junto con entender por qué funciona cada método, crean destrezas que duran hasta los exámenes y mucho después.
Guías de estudio
Los errores tontos casi nunca son aleatorios. La mayoría encaja en unas pocas categorías previsibles, como los signos negativos perdidos, los fallos al aplicar la propiedad distributiva y los enunciados mal leídos, y cada categoría tiene un hábito concreto que la evita.
Guías de estudio
Casi cualquier resultado de matemáticas se puede comprobar sin el solucionario. Sustituir en la ecuación, trabajar a la inversa, estimar, probar valores especiales y revisar las unidades detectan la gran mayoría de los errores en una fracción del tiempo que llevó el ejercicio.
Guías de estudio
Preparar bien un examen empieza semanas antes. Aclara qué entra, diagnostica los temas flojos, practica con exámenes de otros años cronometrándote, planifica el tiempo y dedica los últimos días a repasar, no a aprender cosas nuevas.
Guías de estudio
No toda la práctica vale lo mismo. Practicar matemáticas con eficacia significa atacar puntos débiles concretos, mezclar tipos de problemas, espaciar las sesiones, variar la forma en que se presentan los problemas y corregir enseguida, para que cada hora deje una destreza duradera y no una familiaridad pasajera.
Guías de estudio
La sección de matemáticas del SAT digital tiene 44 preguntas repartidas en dos módulos adaptativos de 35 minutos, con calculadora permitida en todo momento. Evalúa álgebra, matemáticas avanzadas, resolución de problemas y análisis de datos, y geometría y trigonometría, y premia la soltura algebraica, el buen uso de la calculadora y un ritmo constante.
Guías de estudio
La sección de matemáticas del nuevo ACT tiene 45 preguntas en 50 minutos, cada una con cuatro opciones de respuesta, y se puede usar una calculadora autorizada en todo momento. Abarca desde la aritmética preálgebra hasta la trigonometría, así que la soltura general y un ritmo constante importan más que cualquier tema avanzado concreto.
Guías de estudio
Los exámenes AP Calculus combinan una sección de opción múltiple y otra de preguntas abiertas, cada una con la mitad de la nota, con partes con y sin calculadora. El éxito depende de derivar e integrar con soltura, justificar con claridad y practicar con preguntas abiertas de convocatorias anteriores.
Cada artículo de este blog enseña una idea de principio a fin. Empieza por la definición o la regla, muestra la fórmula clave y después resuelve varios ejemplos completos, línea a línea, para que veas por qué está permitido cada paso y no solo cuál es la respuesta. Cada guía termina respondiendo a las preguntas que los estudiantes hacen con más frecuencia sobre ese tema.
Los artículos se agrupan en siete categorías que siguen el orden habitual del temario de secundaria y de los primeros cursos universitarios: álgebra, precálculo, trigonometría, cálculo, álgebra lineal, estadística y guías de estudio. Si estás repasando para una asignatura, empieza por la categoría que corresponde al tema que estás dando y lee las guías en orden; los artículos posteriores dan por sabidas las ideas de los anteriores y enlazan con ellos.
Todos los ejemplos resueltos pueden comprobarse en la calculadora correspondiente. Intenta primero cada problema en papel y después compara tus pasos con los del solucionador. Los ejemplos resueltos de estas guías se comprueban con pruebas matemáticas automáticas antes de publicarse, y cada artículo indica la fecha de su última actualización.