El teorema del coseno explicado con ejemplos

La fórmula

Nombra el triángulo de la forma habitual: ángulos $A$, $B$, $C$ y lados opuestos $a$, $b$, $c$. El teorema del coseno tiene tres versiones, una para cada lado, y todas siguen el mismo patrón:

Léelo así: el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos un término de corrección. El ángulo de ese término es el opuesto al lado del miembro izquierdo, que es también el ángulo comprendido entre los dos lados del miembro derecho. Cuando $C = 90^\circ$, $\cos C = 0$ y la corrección desaparece, de modo que queda $c^2 = a^2 + b^2$. Así pues, el teorema de Pitágoras es un caso particular.

Despejando el coseno se obtiene la forma que se usa para hallar ángulos:

Una demostración breve con coordenadas

Coloca el vértice $C$ en el origen y el lado $a$ sobre el semieje positivo de abscisas, de modo que el vértice $B$ queda en $(a, 0)$. El vértice $A$ está a distancia $b$ del origen en la dirección del ángulo $C$, así que sus coordenadas son $(b\cos C, b\sin C)$.

El lado $c$ es la distancia de $A$ a $B$. Por la fórmula de la distancia, $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. Al desarrollar se obtiene $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, y como $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, esto es $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. La demostración vale tanto si $C$ es agudo como si es obtuso, porque las coordenadas se encargan de los signos automáticamente.

La misma identidad aparece en forma vectorial como $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, y por eso el producto escalar sirve para hallar el ángulo entre dos vectores.

Hallar un lado: dos lados y el ángulo comprendido

Cuando conoces dos lados y el ángulo que forman (LAL), el teorema del seno no permite empezar, porque ningún lado está emparejado con su ángulo opuesto. El teorema del coseno da directamente el tercer lado.

Hallar ángulos: los tres lados

Cuando se conocen los tres lados (LLL), usa la forma del coseno para cada ángulo. Empieza por el ángulo mayor, el opuesto al lado más largo. Si es obtuso, su coseno es negativo, y el arcocoseno lo resuelve correctamente porque devuelve ángulos de $0^\circ$ a $180^\circ$. Una vez conocido el ángulo mayor, los otros dos tienen que ser agudos, así que incluso el teorema del seno podría terminar sin ninguna ambigüedad.

Si las tres longitudes no pueden formar un triángulo, la fórmula lo indica: el coseno sale fuera de $[-1, 1]$. Con lados 3, 4 y 8, el ángulo opuesto a 8 tiene $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, lo cual es imposible, en consonancia con la desigualdad triangular $3 + 4 < 8$.

Acutángulo, rectángulo u obtusángulo sin calculadora

El signo de $a^2 + b^2 - c^2$ coincide con el de $\cos C$. Si $c$ es el lado más largo, esto da una clasificación rápida:

• $c^2 < a^2 + b^2$: el ángulo mayor es agudo, así que el triángulo es acutángulo.
• $c^2 = a^2 + b^2$: el triángulo es rectángulo.
• $c^2 > a^2 + b^2$: el triángulo es obtusángulo.

Con lados 5, 7 y 10, $100 > 74$, así que el triángulo es obtusángulo, como confirmó el ejemplo 3. Con 6, 8 y 9, $81 < 100$, así que es acutángulo.

Área a partir de los tres lados: la fórmula de Herón

Combinando el teorema del coseno con la fórmula del área $\frac{1}{2}ab\sin C$ se llega a la fórmula de Herón, que solo necesita las longitudes de los lados. Sea $s = \frac{a + b + c}{2}$ el semiperímetro. Entonces:

Con lados 5, 7 y 10, $s = 11$ y el área es $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. Como comprobación, $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ da el mismo resultado, 16.25.

Cómo elegir entre los dos teoremas

Usa el teorema del coseno en los casos LAL y LLL, los dos en los que no hay ninguna pareja de lado y ángulo opuesto. Usa el teorema del seno cuando tengas un lado con su ángulo opuesto. En los problemas mixtos, el teorema del coseno suele ir primero y el del seno termina. La guía para resolver triángulos reúne todos los casos en un solo lugar.

Una ventaja práctica del teorema del coseno es que nunca da una respuesta ambigua para un ángulo, porque cada coseno entre $-1$ y 1 corresponde exactamente a un ángulo entre $0^\circ$ y $180^\circ$. El teorema del seno, en cambio, no distingue un ángulo agudo de su suplementario obtuso. Por eso muchos libros de texto recomiendan hallar el ángulo mayor con el coseno siempre que pueda haber un ángulo obtuso.

Errores frecuentes

• Calcular primero $a^2 + b^2 - 2ab$ y multiplicar después por $\cos C$. El producto $2ab\cos C$ debe hacerse antes de la resta.
• Usar un ángulo que no es el comprendido entre los dos lados dados.
• Olvidar la raíz cuadrada final al hallar un lado.
• Mezclar grados y radianes en la calculadora.
• Redondear $c$ demasiado pronto y usar después ese valor redondeado para hallar los ángulos.

La calculadora del teorema del coseno resuelve los casos LAL, LLL y otros mostrando cada sustitución. Para repasar los valores exactos del coseno en los ángulos notables, consulta la calculadora de la circunferencia goniométrica.

Dónde se usa el teorema del coseno

Cualquier situación con dos distancias conocidas y el ángulo que forman es un problema del teorema del coseno. Los navegantes lo usan para saber a qué distancia del puerto está un barco tras dos tramos de viaje con rumbos distintos. Los ingenieros lo usan para calcular la longitud de un tirante o un cable que une los extremos de dos vigas que forman un ángulo conocido. En robótica, el ángulo que debe adoptar cada articulación de un brazo de dos eslabones para alcanzar un punto se halla despejando un ángulo en el teorema del coseno, porque se conocen las longitudes de los dos eslabones y la distancia al objetivo.

La misma fórmula mide en ciencia de datos lo parecidas que son dos listas de números. Si se trata cada lista como un vector, el coseno del ángulo que forman, calculado a partir del producto escalar, se llama similitud coseno, y se utiliza en buscadores y sistemas de recomendación. La geometría es idéntica a la del triángulo; solo cambia el número de dimensiones.

Problemas de práctica con soluciones

1. Los lados 4 y 6 forman un ángulo de $120^\circ$. Halla el tercer lado. Solución: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, ya que $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Halla el ángulo mayor del triángulo de lados 7, 8 y 13. Solución: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, así que el ángulo mide exactamente $120^\circ$.
3. ¿El triángulo de lados 9, 12 y 15 es acutángulo, rectángulo u obtusángulo? Solución: $81 + 144 = 225 = 15^2$, así que es rectángulo.
4. Halla el área del triángulo de lados 13, 14 y 15. Solución: $s = 21$, área $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Preguntas frecuentes