Calculadora de producto escalar

Sobre la calculadora de producto escalar

El producto escalar es la forma más sencilla de comparar dos vectores. Multiplica las componentes correspondientes y suma los resultados, con lo que se obtiene un único número que mide hasta qué punto los vectores apuntan en la misma dirección. A partir de ese número puedes hallar el ángulo que forman, comprobar si son perpendiculares y proyectar un vector sobre otro.

Esta calculadora admite vectores con cualquier número de componentes, siempre que los dos tengan la misma longitud. Muestra los productos de las componentes, su suma, los dos módulos, el ángulo en grados y la proyección escalar y vectorial del primer vector sobre el segundo. Si uno de los vectores es el vector nulo, explica por qué el ángulo no se puede definir.

¿Qué es el producto escalar?

El producto escalar, también llamado producto punto, de $\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ y $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ es $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ . A diferencia del producto vectorial, el resultado es un número, no un vector.

Geométricamente, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$ , donde $\theta$ es el ángulo que forman los vectores. El producto escalar es positivo cuando el ángulo es agudo, cero cuando los vectores son perpendiculares y negativo cuando el ángulo es obtuso.

Cómo usar la calculadora de producto escalar

Introduce las componentes del primer vector separadas por comas, por ejemplo 1, 2, 3.
Introduce el segundo vector con el mismo número de componentes.
Pulsa Calcular.
Lee el producto escalar, los módulos y el ángulo entre los vectores.
Usa el paso de la proyección si necesitas la componente de un vector en la dirección del otro.

Fórmulas

Producto escalar

\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i

Módulo

|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}

Ángulo entre vectores

\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|}

Proyección de u sobre v

\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\,\mathbf{v}

Ejemplo resuelto: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

El ejemplo usa $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ y $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ . Los productos de las componentes son 4, $-10$ y 18, que suman 12.

Los módulos son $\sqrt{14}$ y $\sqrt{77}$ , así que $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ y el ángulo mide unos $68.56°$ . El producto escalar positivo confirma que el ángulo es agudo.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

u v = 12

Cómo hemos leído tu problema

Producto escalar de dos vectores de 3 dimensiones.

\langle 1, 2, 3 \rangle \cdot \langle 4, -5, 6 \rangle

Solución paso a paso

Multiplicar las componentes correspondientes
$(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6)$
Sumar los productos
$u v = 4 - 10 + 18 = 12$
Calcular los módulos
$|u| = \sqrt{14} = \sqrt{14} \approx 3.741657387,\quad |v| = \sqrt{77} = \sqrt{77} \approx 8.774964387$
Ángulo entre los vectores
$\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{12}{32.83291} \approx 0.36548694 \Rightarrow \theta \approx 68.562447° \ (1.1966404\text{ rad})$
Proyección escalar y vectorial de u sobre v
$\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 1.3675269,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle \frac{48}{77}, -\frac{60}{77}, \frac{72}{77} \rangle$

Fórmulas utilizadas

Producto escalar
$u \cdot v = \sum u_i v_i = |u||v|\cos\theta$

El producto escalar es positivo, así que el ángulo entre los vectores es agudo.

Comprobación

Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v·u da el mismo valor.

Explicación detallada

Medir ángulos y perpendicularidad

Despejando en la fórmula geométrica se obtiene el ángulo entre dos vectores no nulos cualesquiera. Como solo el signo de $\cos\theta$ decide si un ángulo es agudo u obtuso, el signo del producto escalar basta para saberlo, antes de calcular ningún módulo.

Dos vectores son ortogonales exactamente cuando su producto escalar es cero. Para $\langle 1, 0 \rangle$ y $\langle 0, 1 \rangle$ , el producto escalar es 0 y el ángulo es $90°$ . Esta prueba funciona en cualquier dimensión, y por eso la ortogonalidad se define mediante el producto escalar en cuatro o más dimensiones, donde los ángulos no se pueden dibujar.

Proyecciones

La proyección escalar $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ es la longitud con signo de la sombra que $\mathbf{u}$ proyecta sobre la recta que contiene a $\mathbf{v}$ . La proyección vectorial multiplica el vector unitario en la dirección de $\mathbf{v}$ por esa longitud. Al restar la proyección de $\mathbf{u}$ queda la componente perpendicular a $\mathbf{v}$ , que es la idea en la que se basan el proceso de Gram-Schmidt y el ajuste por mínimos cuadrados.

En física, el trabajo que realiza una fuerza constante $\mathbf{F}$ al mover un objeto a lo largo de un desplazamiento $\mathbf{d}$ es $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$ : solo la componente de la fuerza en la dirección del movimiento realiza trabajo.

Propiedades

El producto escalar es conmutativo, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ , y distributivo respecto de la suma. El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su longitud, y así es como se calculan los módulos. Multiplicar uno de los vectores por $k$ multiplica el producto escalar por $k$ , pero no cambia el ángulo cuando $k$ es positivo.

El producto escalar también está relacionado con el teorema del coseno. Al desarrollar $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$ se obtiene $|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ , que es exactamente el teorema del coseno para el triángulo formado por los dos vectores y su diferencia. Esa identidad es la razón por la que funciona la fórmula del ángulo.

Errores frecuentes

Esperar un vector como respuesta; el producto escalar es un único número.
Multiplicar componentes que no se corresponden o vectores de distinta longitud.
Olvidar la raíz cuadrada al calcular los módulos.
Dejar la calculadora en radianes cuando el ángulo se pide en grados.
Proyectar sobre el vector equivocado; $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}$ y $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}$ son distintos.

Consejos

Comprueba primero la ortogonalidad: un producto escalar nulo significa un ángulo recto.
Usa el signo del producto escalar para prever si el ángulo es agudo u obtuso.
Si normalizas antes los vectores a longitud 1, el producto escalar es directamente $\cos\theta$ .
Usa la calculadora de producto vectorial cuando necesites un vector perpendicular a ambos.
Usa la calculadora de matrices para obtener muchos productos escalares a la vez como un producto de matrices.
Escribe cada vector como una columna junto al otro para que las componentes correspondientes queden alineadas antes de multiplicar.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el producto escalar?

Multiplica las componentes correspondientes de los dos vectores y suma los productos. Para ⟨1, 2, 3⟩ y ⟨4, −5, 6⟩ se obtiene 4 − 10 + 18 = 12.

¿Cómo hallo el ángulo entre dos vectores?

Divide el producto escalar entre el producto de los módulos y calcula el arcocoseno. La calculadora lo muestra en grados.

¿Qué significa que el producto escalar sea cero?

Que los vectores son perpendiculares (ortogonales), siempre que ninguno sea el vector nulo.

¿Puede el producto escalar ser negativo?

Sí. Un producto escalar negativo significa que el ángulo entre los vectores es mayor de 90°.

¿Funciona la calculadora en más de tres dimensiones?

Sí. Los vectores pueden tener cualquier número de componentes, siempre que los dos tengan el mismo.

¿Qué diferencia hay entre el producto escalar y el producto vectorial?

El producto escalar da un número que mide la alineación y funciona en cualquier dimensión. El producto vectorial da un vector perpendicular a los dos vectores dados y está definido para vectores tridimensionales.

¿Qué ocurre si uno de los vectores es nulo?

El producto escalar es 0, pero el ángulo no está definido porque el vector nulo no tiene dirección. La calculadora lo indica en lugar de dar un ángulo.

Prueba la calculadora de producto escalar

Introduce dos vectores y obtén su producto escalar, el ángulo que forman y la proyección, con cada paso explicado.

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