Calculadora de matrices

Sobre la calculadora de matrices

Las matrices guardan números en filas y columnas, y son el lenguaje del álgebra lineal, los gráficos por ordenador, los modelos económicos, la estadística y el aprendizaje automático. Las operaciones en sí son sencillas, pero implican muchas multiplicaciones y sumas pequeñas, y un solo despiste en un elemento estropea toda la respuesta.

Esta calculadora realiza nueve operaciones con matrices: producto, suma, resta, producto por un escalar, potencias de exponente entero, traspuesta, forma escalonada reducida por filas, rango y traza. Los elementos pueden ser enteros, decimales o fracciones, y todos los cálculos son exactos, así que un resultado como $\frac32$ se muestra como fracción y no como un decimal redondeado. La reducción por filas enumera cada operación de fila en orden.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla rectangular de números con $m$ filas y $n$ columnas, llamada matriz $m \times n$ . El elemento de la fila $i$ y la columna $j$ se escribe $a_{ij}$ . Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, y la matriz identidad $I$ tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto.

Las matrices representan aplicaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Multiplicar una matriz por un vector aplica una transformación, como un giro o un cambio de escala, y multiplicar dos matrices compone dos transformaciones en una sola.

Cómo usar la calculadora de matrices

Elige una operación de la lista.
Introduce la matriz A con espacios entre los elementos y punto y coma entre las filas, por ejemplo 1 2; 3 4.
Para el producto, la suma y la resta, introduce la matriz B con el mismo formato.
Para el producto por un escalar o las potencias, introduce el número $k$ .
Pulsa Calcular y sigue los pasos hasta el resultado.

Fórmulas

Elemento del producto de matrices

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Suma

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Traspuesta

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Traza

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Ejemplo resuelto: A × B (2×2)

El ejemplo multiplica $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ por $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Cada elemento del producto es el producto escalar de una fila de $A$ por una columna de $B$ ; el elemento superior izquierdo es $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Al repetirlo en las otras tres posiciones se obtiene $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . Si se cambia el orden, sale $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ , una matriz distinta, lo que demuestra que el producto de matrices no es conmutativo.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Cómo hemos leído tu problema

Calcular exactamente A × B.

Solución paso a paso

Leer la matriz A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Leer la matriz de B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Cada elemento es el producto escalar de una fila de A por una columna de B
El resultado es 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Resultado
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Fórmulas utilizadas

Producto de matrices
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A es 2×2 y B es 2×2, así que AB es 2×2. El producto de matrices no es conmutativo: en general, BA es distinto.

Comprobación

Todos los cálculos son exactos (fracciones, sin redondeo).

Explicación detallada

Cuándo están definidas las operaciones

La suma y la resta necesitan matrices exactamente del mismo tamaño y se hacen elemento a elemento. El producto $AB$ exige que el número de columnas de $A$ sea igual al número de filas de $B$ ; una matriz $m \times n$ por una matriz $n \times p$ da un resultado $m \times p$ . Una matriz $2 \times 3$ no puede multiplicar a una matriz $2 \times 2$ , y la calculadora explica la incompatibilidad de tamaños en lugar de devolver un código de error.

Las potencias solo están definidas para matrices cuadradas, porque $A \cdot A$ necesita tamaños compatibles. Al elevar $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ a la quinta potencia se obtiene $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ , cuyos elementos son números de Fibonacci.

Reducción por filas y rango

La forma escalonada reducida por filas se obtiene con tres operaciones de fila: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar a una fila un múltiplo de otra. El objetivo es un 1 principal en cada fila no nula, con ceros por encima y por debajo de él. La forma escalonada reducida es el método habitual para resolver sistemas lineales, hallar una base y estudiar la independencia lineal.

El rango es el número de filas no nulas de la forma escalonada reducida, que coincide con el número de filas o columnas linealmente independientes. La matriz $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ se reduce a una forma con una fila de ceros, así que su rango es 2: la tercera fila es combinación de las dos primeras.

Traspuesta y traza

La traspuesta refleja una matriz respecto de su diagonal principal y convierte las filas en columnas. Aparece en los productos escalares, en el ajuste por mínimos cuadrados y en la definición de matriz simétrica, que es igual a su propia traspuesta. La traza suma los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada; es igual a la suma de los valores propios, lo que la convierte en una comprobación rápida al calcularlos.

Errores frecuentes

Multiplicar las matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas.
Suponer que $AB = BA$ ; el orden de los factores importa.
Intentar sumar matrices de tamaños distintos.
Equivocarse con el tamaño del producto; una matriz $m \times n$ por otra $n \times p$ da $m \times p$ .
Cambiar una fila multiplicándola por cero durante la reducción, con lo que se pierde información.

Consejos

Escribe el tamaño junto a cada matriz antes de multiplicar para confirmar que el producto existe.
Usa fracciones en lugar de decimales redondeados para que la reducción por filas sea exacta.
Comprueba un producto calculando un elemento a mano.
Usa la calculadora de determinantes para saber si una matriz cuadrada es invertible.
Usa la calculadora de sistemas de ecuaciones cuando tu matriz proceda de un sistema lineal.

Preguntas frecuentes

¿Cómo introduzco una matriz?

Separa los elementos de una fila con espacios o comas y separa las filas con punto y coma. Por ejemplo, 1 2; 3 4 es la matriz 2×2 con filas (1, 2) y (3, 4).

¿Por qué el producto de matrices no es conmutativo?

AB combina las filas de A con las columnas de B, mientras que BA combina las filas de B con las columnas de A. Son cálculos distintos, así que los resultados suelen diferir, y puede que un producto exista y el otro no.

¿Cuándo se pueden multiplicar dos matrices?

Cuando el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. El producto tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

¿Qué es la forma escalonada reducida?

Una forma en la que cada fila no nula empieza con un 1 principal, cada 1 principal está a la derecha del de la fila anterior y todos los demás elementos de la columna de un 1 principal son cero.

¿Qué indica el rango de una matriz?

El número de filas o columnas linealmente independientes. En una matriz cuadrada, tener rango máximo significa que la matriz es invertible y que el sistema lineal asociado tiene solución única.

¿Puedo usar fracciones en la matriz?

Sí. Se admiten elementos como 1/2, y todos los resultados se calculan con fracciones exactas.

¿Qué es la traza de una matriz?

La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada. También es igual a la suma de los valores propios de la matriz.

Prueba la calculadora de matrices

Introduce tus matrices, elige una operación y obtén el resultado exacto con cada paso explicado.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA