Calculadora de sistemas de ecuaciones

Sobre la calculadora de sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones pide valores que cumplan varias ecuaciones a la vez. Dos rectas en una gráfica se cortan en un punto, no se cortan nunca o coinciden, y esos mismos tres casos existen en sistemas con cualquier número de incógnitas. Esta calculadora decide en qué caso estás y, cuando la solución es única, la da en fracciones exactas en lugar de decimales redondeados.

Usa la eliminación de Gauss-Jordan, el método sistemático que hay detrás de la sustitución y la reducción que se enseñan en clase. Cada operación por filas aparece en la lista, de modo que puedes seguir las cuentas, compararlas con tu propia eliminación y ver exactamente dónde desaparece una incógnita o surge una contradicción.

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Una ecuación lineal tiene cada incógnita elevada solo a la primera potencia, como $2x + 3y = 7$ . Un sistema es un conjunto de ecuaciones así que comparten las mismas incógnitas. Una solución es una asignación de valores que hace verdaderas todas las ecuaciones a la vez.

Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta y una solución es un punto de intersección. Con tres incógnitas, cada ecuación es un plano. El sistema puede ser compatible determinado, con solución única; compatible indeterminado, con infinitas soluciones (ecuaciones dependientes); o incompatible, sin ninguna solución.

Cómo usar la calculadora de sistemas de ecuaciones

Escribe cada ecuación en su propia línea, por ejemplo 2x + 3y = 7 en la primera y x - y = 1 en la segunda.
Usa las letras que quieras como incógnitas. Puede haber términos en los dos miembros; la calculadora los pasa a forma estándar.
Se admiten fracciones y decimales, como 0.5x + y/3 = 2; los decimales se convierten en fracciones exactas.
Pulsa Resolver el sistema. Lee la forma estándar y la matriz ampliada, y después la lista de operaciones por filas.
Lee el veredicto: una solución única, una descripción paramétrica de las infinitas soluciones o la contradicción que demuestra que no hay ninguna.

Fórmulas

Forma matricial

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Los coeficientes forman $A$ y los términos independientes $\mathbf{b}$ ; la matriz ampliada es $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Operaciones elementales por filas

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Ninguna de ellas cambia el conjunto solución.

Regla de Cramer (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Para $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ con determinante distinto de cero.

Ejemplo resuelto: 2x + 3y = 7, x − y = 1

El ejemplo resuelve $2x + 3y = 7$ y $x - y = 1$ . El motor escribe la matriz ampliada, divide la primera fila para que su primer elemento sea 1, elimina $x$ de la segunda fila y después elimina $y$ de la primera.

La matriz reducida se lee directamente como $x = 2$ e $y = 1$ . Al sustituir se obtiene $2(2) + 3(1) = 7$ y $2 - 1 = 1$ , así que se cumplen las dos ecuaciones.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

x = 2,\ y = 1

Cómo hemos leído tu problema

2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Solución paso a paso

Escribir cada ecuación en forma general
Pasar todos los términos con variables a la izquierda y las constantes a la derecha.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Construir la matriz ampliada [A | b]
Columnas: x, y | término independiente.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Eliminación de Gauss-Jordan
Usar operaciones de fila para que cada pivote sea 1 y anular el resto de su columna.
Dividir R1 entre 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Anular la columna 1 con el pivote de R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Dividir R2 entre -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Anular la columna 2 con el pivote de R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Forma escalonada reducida
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Leer la solución única
$x = 2,\ y = 1$

Fórmulas utilizadas

Forma matricial
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Operaciones elementales de fila
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

El sistema tiene una única solución; al sustituirla se cumplen todas las ecuaciones.

Comprobación

Ecuación 1: 2x + 3y = 7 ✓
Ecuación 2: x - y = 1 ✓

Explicación detallada

Reducción, sustitución y matrices

La sustitución despeja una incógnita en una ecuación y la reemplaza en las demás. La reducción suma múltiplos de las ecuaciones para que una incógnita se cancele. La eliminación de Gauss-Jordan es la reducción hecha en un orden fijo sobre la matriz ampliada: se elige un pivote en cada columna, se convierte en 1 y se anulan todos los demás elementos de esa columna.

La versión matricial no es un método distinto, solo una contabilidad más ordenada. Cada fila es una ecuación sin los nombres de las incógnitas, y cada operación por filas es algo que podrías hacer a mano con las ecuaciones. Como las cuentas se hacen con fracciones exactas, ningún error de redondeo puede convertir un sistema dependiente en una falsa solución única.

Cómo reconocer que no hay solución o que hay infinitas

Si la eliminación produce una fila como $[0\ 0 \mid 5]$ , esa fila dice $0 = 5$ , lo cual es imposible, así que el sistema es incompatible. Geométricamente, son rectas paralelas que nunca se cortan.

Si una fila se queda toda en ceros, $[0\ 0 \mid 0]$ , esa ecuación era combinación de las demás y no aporta información. Cuando hay menos pivotes que incógnitas, las incógnitas sin pivote son libres. La calculadora las nombra como parámetros y escribe las demás incógnitas en función de ellas, lo que describe toda la recta o el plano de soluciones.

Sistemas más grandes

Tres ecuaciones con tres incógnitas siguen el mismo esquema con una columna más. El método se extiende a cualquier tamaño, y la calculadora admite sistemas con más ecuaciones que incógnitas o con menos, e informa con franqueza del resultado en cada caso.

Errores frecuentes

Multiplicar solo un miembro de una ecuación, o solo algunos términos, al reescalarla.
Perder un signo negativo al restar una ecuación de otra; resta todos los términos, incluido el independiente.
Suponer que un sistema siempre tiene exactamente una solución. Busca contradicciones y filas de ceros.
Escribir las incógnitas en distinto orden en cada ecuación, lo que desalinea las columnas de la matriz.
Redondear fracciones a mitad del proceso, lo que puede hacer que un sistema compatible parezca ligeramente incompatible.

Consejos

Alinea las incógnitas en el mismo orden en todas las ecuaciones antes de empezar.
Elimina primero la incógnita con los coeficientes más sencillos.
Sustituye tu respuesta en todas las ecuaciones originales, no solo en la última que usaste.
Con dos incógnitas, dibuja las dos rectas para prever si se cortan una vez, nunca o en todos sus puntos.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas ecuaciones necesito para resolver tres incógnitas?

Normalmente tres ecuaciones independientes. Con menos, hay incógnitas libres e infinitas soluciones; con más, las ecuaciones sobrantes tienen que ser compatibles con las demás.

¿Qué significa que la calculadora diga que no hay solución?

La eliminación ha producido una igualdad imposible como 0 = 5. Las ecuaciones se contradicen; con dos incógnitas, las rectas son paralelas.

¿Qué son las incógnitas libres?

Las que no tienen pivote tras la eliminación. Pueden tomar cualquier valor y las demás incógnitas se expresan en función de ellas, lo que da infinitas soluciones.

¿Puedo escribir ecuaciones con incógnitas en los dos miembros?

Sí. Cada ecuación se reordena en forma estándar, con los términos con incógnita a la izquierda y el término independiente a la derecha, antes de empezar la eliminación.

¿Por qué las respuestas salen en fracciones y no en decimales?

El motor trabaja con aritmética racional exacta, así que respuestas como 7/3 se mantienen exactas. Pasa a decimal solo al final si tu curso lo pide.

¿Puede resolver sistemas no lineales como x al cuadrado más y al cuadrado igual a 25?

No. Esta calculadora es para sistemas lineales. Para una sola ecuación polinómica, usa la calculadora de ecuaciones; para las intersecciones de curvas, la calculadora gráfica puede mostrarlas visualmente.

Prueba la calculadora de sistemas de ecuaciones

Escribe una ecuación por línea y sigue cada operación por filas hasta la solución exacta.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA