Calculadora de ecuaciones de segundo grado

Q: ¿Cuál es la fórmula general de segundo grado?

Para ax^2 + bx + c = 0, las soluciones son x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Sirve para cualquier ecuación de segundo grado, incluidas las que no se pueden factorizar.

Q: ¿Qué indica el discriminante?

Si b^2 - 4ac > 0 hay dos raíces reales distintas, si vale 0 hay una raíz doble y si es negativo hay dos raíces complejas.

Q: ¿Cómo se halla el vértice de la parábola?

El vértice está en x = -b/(2a); sustituye ese valor para obtener la ordenada. La calculadora muestra ambas coordenadas.

Q: ¿Por qué a no puede ser cero en una ecuación de segundo grado?

Si a = 0 el término en x^2 desaparece y la ecuación pasa a ser lineal, bx + c = 0, con una solución como mucho. Además la fórmula general dividiría entre cero, por eso la calculadora pide un a distinto de cero.

Sobre la calculadora de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado tiene la forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$ . Su gráfica es una parábola, y las soluciones son los puntos de corte con el eje x.

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ indica qué tipo de raíces cabe esperar: dos raíces reales si es positivo, una raíz doble si es cero y dos raíces complejas conjugadas si es negativo. La calculadora mantiene los radicales exactos, así que $2x^2 + 4x - 3 = 0$ da $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

¿Qué es una ecuación de segundo grado?

Una ecuación de segundo grado, o ecuación cuadrática, es una ecuación polinómica de grado dos: la mayor potencia de la incógnita es $x^2$ . En forma estándar se escribe $ax^2 + bx + c = 0$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son números y $a$ no es cero. El coeficiente $a$ determina lo abierta que es la parábola y si se abre hacia arriba o hacia abajo, $b$ la desplaza lateralmente y $c$ es el punto donde corta al eje y.

Como la gráfica de $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola, puede cortar al eje x dos veces, tocarlo una vez en su vértice o no tocarlo nunca. Esas tres situaciones corresponden a dos soluciones reales, una solución doble y ninguna solución real, y el discriminante decide cuál se da antes de calcular ninguna raíz.

Cómo usar la calculadora de ecuaciones de segundo grado

Reescribe tu ecuación de modo que un miembro sea 0.
Introduce los coeficientes a, b y c. Se admiten fracciones y decimales.
Pulsa Resolver para ver el discriminante, las dos raíces, la forma factorizada y el vértice.

Fórmulas

Fórmula general

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

Vértice

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Fórmulas de Cardano-Vieta

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Ejemplo resuelto: x² − 3x − 10 = 0

El ejemplo resuelto es $x^2 - 3x - 10 = 0$ , así que $a = 1$ , $b = -3$ y $c = -10$ . El discriminante es $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ , un cuadrado perfecto positivo, por lo que hay dos raíces racionales. La fórmula da $\frac{3 \pm 7}{2}$ , es decir, $x = -2$ y $x = 5$ . La calculadora también halla el vértice en $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ y la forma factorizada $(x + 2)(x - 5)$ , y confirma con las fórmulas de Cardano-Vieta que las raíces suman 3 y su producto es −10.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Cómo hemos leído tu problema

Resolver una ecuación de segundo grado en forma general con la fórmula general.

x^2 - 3x - 10 = 0

Solución paso a paso

Identificar los coeficientes de ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Calcular el discriminante
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, así que hay dos raíces reales distintas
Aplicar la fórmula general
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Simplificar cada raíz
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Hallar el vértice de la parábola
La parábola se abre hacia arriba, así que el vértice es un mínimo.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Forma factorizada
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Fórmulas utilizadas

Fórmula general de segundo grado
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Discriminante
$\Delta = b^2 - 4ac$
Vértice
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

El discriminante es positivo, así que la parábola corta el eje x en dos puntos.

Comprobación

Sustituir x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Sustituir x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Cardano-Vieta: suma de raíces = 3 = −b/a = 3; producto = -10 = c/a = -10

Explicación detallada

Los tres casos del discriminante

Cuando $\Delta > 0$ la raíz cuadrada es un número real y el $\pm$ produce dos raíces distintas. Si además $\Delta$ es un cuadrado perfecto, como el 49 del ejemplo, las raíces son racionales y el polinomio se factoriza con enteros; si no, contienen un radical, como en $2x^2 + 4x - 3 = 0$ , cuyas raíces son $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . Cuando $\Delta = 0$ las dos raíces coinciden: $x^2 - 6x + 9 = 0$ tiene la raíz doble $x = 3$ y la parábola solo toca el eje. Cuando $\Delta < 0$ no hay raíces reales y la calculadora da el par complejo, por ejemplo $-1 \pm 2i$ para $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

De dónde sale la fórmula

La fórmula general es lo que se obtiene al completar el cuadrado en la ecuación general. Al dividir entre $a$ y pasar $c$ al otro miembro queda $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; sumar $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ a ambos miembros convierte el izquierdo en un cuadrado perfecto, $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Al extraer raíces cuadradas y restar $\frac{b}{2a}$ aparece la fórmula. Esa deducción explica también el vértice: la parábola es simétrica respecto de $x = -\frac{b}{2a}$ , el punto medio de las dos raíces.

Cómo leer el vértice y la gráfica

El vértice es el punto de giro de la parábola. Su abscisa es $-\frac{b}{2a}$ , y al sustituirla en la ecuación se obtiene la ordenada, que es el valor mínimo cuando $a > 0$ y el máximo cuando $a < 0$ . En el ejemplo el vértice está en $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ , así que la expresión $x^2 - 3x - 10$ nunca es menor que $-12.25$ . Por eso las funciones cuadráticas son tan útiles en problemas de optimización, como hallar el punto más alto de una pelota lanzada o el precio que maximiza los ingresos.

La forma canónica $a(x - h)^2 + k$ muestra la misma información directamente, con $(h, k)$ como vértice.

Errores frecuentes

Usar $-b^2$ en lugar de $b^2$ cuando $b$ es negativo: $(-3)^2 = 9$ .
Dividir solo $-b$ entre $2a$ en lugar de todo el numerador.
Introducir los coeficientes antes de pasar todos los términos a un mismo miembro.
Olvidar el ± y dar una sola raíz.
Escribir raíces complejas cuando solo se piden soluciones reales, o al revés; lee bien lo que pide el enunciado.

Consejos

Si $b$ es par, la fórmula se simplifica a $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Comprueba tus raíces con Cardano-Vieta: su suma debe ser $-\frac{b}{a}$ .
Si $\Delta$ es un cuadrado perfecto, el polinomio se factoriza con enteros.
Divide primero los tres coeficientes entre un factor común; las raíces no cambian y las cuentas son más sencillas.
El vértice está a medio camino entre las dos raíces, lo que sirve para comprobar ambas rápidamente.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula general de segundo grado?

Para $ax^2 + bx + c = 0$ , las soluciones son $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Sirve para cualquier ecuación de segundo grado, incluidas las que no se pueden factorizar.

¿Qué indica el discriminante?

Si $b^2 - 4ac > 0$ hay dos raíces reales distintas, si vale 0 hay una raíz doble y si es negativo hay dos raíces complejas.

¿La calculadora da raíces complejas?

Sí. Con un discriminante negativo las raíces se escriben como $p \pm qi$ ; para $x^2 + 2x + 5 = 0$ son $-1 \pm 2i$ .

¿Qué pasa si a = 0?

Entonces la ecuación es lineal, no de segundo grado. Usa la calculadora de ecuaciones o la de despejar x.

¿Cómo se halla el vértice de la parábola?

El vértice está en $x = -\frac{b}{2a}$ ; sustituye ese valor para obtener la ordenada. La calculadora muestra ambas coordenadas.

¿Por qué dejar las raíces con radicales en lugar de decimales?

Los radicales exactos conservan toda la precisión y muestran la estructura de la respuesta. Al lado aparece una aproximación decimal por comodidad.

¿Qué significa una raíz doble?

Significa que el discriminante es cero y las dos raíces son el mismo número. La parábola toca el eje x en su vértice sin cruzarlo, como ocurre con $x^2 - 6x + 9 = 0$ , que tiene la raíz doble $x = 3$ .

¿Cuándo conviene factorizar en lugar de usar la fórmula?

Factoriza cuando el discriminante sea un cuadrado perfecto y los números sean pequeños, porque entonces las raíces son racionales. La fórmula funciona siempre, así que úsala cuando la factorización no sea evidente.

¿Por qué a no puede ser cero en una ecuación de segundo grado?

Si $a = 0$ el término en $x^2$ desaparece y la ecuación pasa a ser lineal, $bx + c = 0$ , con una solución como mucho. Además la fórmula general dividiría entre cero, por eso la calculadora pide un $a$ distinto de cero.

Prueba la calculadora de ecuaciones de segundo grado

Introduce a, b y c y obtén el discriminante, las raíces exactas, el vértice y la forma factorizada.

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